Question

Решите какую нибудь задачу по Дифференциальным уравнениям. Нужно

Answer 1

2.

$y - \frac{y}{x} = - x$

Это ЛДУ. Замена:

y=UV

y'=U'V+V'U

$U'V + V'U - \frac{UV}{x} = - x \\ U'V +U(V' - \frac{V}{x} ) = - x$

$1)V' - \frac{V}{x} = 0 \\ \frac{dV}{dx} = \frac{V}{x} \\ ∫ \frac{dv}{V} = ∫ \frac{dx}{x} \\ ln(V) = ln(x) \\ v = x$

$2)U'V = - x \\ \frac{dU}{dx} \times x = - x \\ ∫dU = - ∫dx \\ U = - x + c$

y = UV = x(-x+C) = -x^2+Cx - общее решение

4.

$(y - \sin(x) )dx + (x + {e}^{y} )dy = 0$

Найдём производные второго порядка:

F"xy=(y-sinx)'(по у) = 1

F"yx=(x+e^y)'(по х) = 1

обе производные равны, значит это ДУ в полных дифференциалах.

$F = ∫(y - \sin(x) )dx = yx + \cos(x) + \gamma (y)$

Теперь нужно найти вот эту неизвестную функцию (гамма от у):

$F'y = x + \gamma' (y)$

$x + \gamma' (y) = x + {e}^{y} \\ \frac{d( \gamma )}{dy} = {e}^{y} \\ ∫d \gamma = ∫ {e}^{y}dy \\ d \gamma = {e}^{y} + c$

Собираем функцию:

F= xy + cosx +e^y + C - общее решение.