Для нахождения промежутков монотонности функции, нам нужно найти значения x, при которых функция возрастает и убывает.
1. Сначала найдем производную функции F(x). Для этого возьмем производные от каждого слагаемого.
F'(x) = (2x^3)' - (9x)' + (12x)' - (15)'
F'(x) = 6x^2 - 9 + 12 - 0
F'(x) = 6x^2 + 3
2. Теперь ищем точки, в которых производная равна нулю или не существует. Для этого решим уравнение:
6x^2 + 3 = 0
Вычитаем 3 из обеих частей:
6x^2 = -3
Делим обе части на 6:
x^2 = -1/2
Так как x^2 не может быть отрицательным числом, то данное уравнение не имеет решений.
3. Теперь осталось определить знак производной на промежутках между точками.
Для этого выбираем произвольное значение x внутри каждого интервала и подставляем его в производную функции.
Например, для интервала x < 0:
Допустим, возьмем значение x = -1 и подставляем в F'(x):
F'(-1) = 6(-1)^2 + 3
F'(-1) = 6 + 3
F'(-1) = 9
Заметим, что значение производной положительно, следовательно, на интервале x < 0 функция возрастает.
Точно также можно поступить и для других интервалов, например x > 0:
Возьмем значение x = 1 и подставим в F'(x):
F'(1) = 6(1)^2 + 3
F'(1) = 6 + 3
F'(1) = 9
Так как значение производной положительно, то на интервале x > 0 функция тоже возрастает.
Таким образом, функция F(x) возрастает на всей числовой прямой, так как производная положительна для всех значений x.
В итоге, промежуток монотонности функции F(x) - это (-∞, +∞). Как видно, функция F(x) не убывает ни на одном интервале.
1. Сначала найдем производную функции F(x). Для этого возьмем производные от каждого слагаемого.
F'(x) = (2x^3)' - (9x)' + (12x)' - (15)'
F'(x) = 6x^2 - 9 + 12 - 0
F'(x) = 6x^2 + 3
2. Теперь ищем точки, в которых производная равна нулю или не существует. Для этого решим уравнение:
6x^2 + 3 = 0
Вычитаем 3 из обеих частей:
6x^2 = -3
Делим обе части на 6:
x^2 = -1/2
Так как x^2 не может быть отрицательным числом, то данное уравнение не имеет решений.
3. Теперь осталось определить знак производной на промежутках между точками.
Для этого выбираем произвольное значение x внутри каждого интервала и подставляем его в производную функции.
Например, для интервала x < 0:
Допустим, возьмем значение x = -1 и подставляем в F'(x):
F'(-1) = 6(-1)^2 + 3
F'(-1) = 6 + 3
F'(-1) = 9
Заметим, что значение производной положительно, следовательно, на интервале x < 0 функция возрастает.
Точно также можно поступить и для других интервалов, например x > 0:
Возьмем значение x = 1 и подставим в F'(x):
F'(1) = 6(1)^2 + 3
F'(1) = 6 + 3
F'(1) = 9
Так как значение производной положительно, то на интервале x > 0 функция тоже возрастает.
Таким образом, функция F(x) возрастает на всей числовой прямой, так как производная положительна для всех значений x.
В итоге, промежуток монотонности функции F(x) - это (-∞, +∞). Как видно, функция F(x) не убывает ни на одном интервале.