Question

Решение неопределённого интеграла

Answer 1

$\int\limits \frac{dx}{( 3 + \sin(x)) \sin(x) }$

Сделаем тригонометрическую замену:

$t = tg( \frac{x}{2} ) \\ \sin(x) = \frac{2t}{1 + {t}^{2} } \\ dx = \frac{2dt}{1 + {t}^{2} }$

$\int\limits \frac{2dt}{(1 + {t}^{2}) } \times \frac{1}{ \frac{2t}{1 + {t}^{2} }(3 + \frac{2t}{1 + {t}^{2} } ) } = \\ = \int\limits \frac{2tdt}{1 + {t}^{2} } \times \frac{1}{ \frac{2t}{1 + {t}^{2} } \times \frac{3(1 + {t}^{2}) + 2t }{1 + {t}^{2} } } = \\ = \int\limits \frac{2dt}{1 + {t}^{2} } \times \frac{ {(1 + {t}^{2}) }^{2} }{(3 + 3 {t}^{2} + 2t) \times 2t } = \\ = \int\limits \frac{2(1 + {t}^{2} )dt}{6 {t}^{3} + 4 {t}^{2} + 6t} = \int\limits \frac{(1 + {t}^{2} )dt}{3 {t}^{3} + 2 {t}^{2} + 3 }$

Разложим дробь на простейшие:

$\frac{1 + {t}^{2} }{t(3 {t}^{2} + 2t + 3)} = \frac{A}{t} + \frac{Bt + C}{3 {t}^{2} + 2t + 3 } \\ 1 + {t}^{2} = A(3 {t}^{2} + 2t + 3) + (Bt + C)t \\ 1 + {t}^{2} = 3A {t}^{2} + 2At + 3A + B {t}^{2} + Ct$

система:

$1 = 3A + B \\ 0 = 2A + C \\ 1 =3 A\\ \\ A = \frac{1}{3} \\ B = 1 - 3a = 0 \\ C = - 2a = - \frac{2}{3}$

Получаем интегралы:

$\int\limits \frac{ \frac{1}{3} dt }{t} - \int\limits \frac{ \frac{2}{3} dt}{3 {t}^{2} + 2t + 3}$

$1) \frac{1}{3} \int\limits \frac{dt}{t} = \frac{1}{3} ln(t) + c$

$2) \frac{2}{3} \int\limits \frac{dt}{3 {t}^{2} + 2 t + 3}$

выделим в знаменателе квадрат:

$3 {t}^{2} + 2t + 3 = \\ = {( \sqrt{3}t) }^{2} + 2 \times \sqrt{3} t \times \frac{1}{ \sqrt{3} } + \frac{1}{3} + \frac{8}{3} = \\ = {( \sqrt{3}t + \frac{2}{ \sqrt{3} } ) }^{2} + \frac{8}{3} = {( \sqrt{3}t + \frac{2}{ \sqrt{3} } ) }^{2} + {( \frac{2 \sqrt{2} }{ \sqrt{3} } )}^{2}$

$2) \frac{2}{3} \int\limits \frac{dt}{ {( \sqrt{3}t + \frac{1}{ \sqrt{3} } ) }^{2} + {( \frac{2 \sqrt{2} }{ \sqrt{3} } )}^{2} } = \\ = \frac{2}{3} \times \frac{1}{ \frac{2 \sqrt{2} }{ \sqrt{3} } } arctg( \frac{ \sqrt{3}t + \frac{1}{ \sqrt{3} } }{ \frac{2 \sqrt{2} }{ \sqrt{3} } } ) + c = \\ = \frac{1}{3 \sqrt{2} } arctg( \frac{3t + 1}{2 \sqrt{2} } ) + c$

собираем все вместе:

$= \frac{1}{3} ln(t) - \frac{1}{3 \sqrt{2} } arctg( \frac{ \sqrt{3}t + \frac{1}{ \sqrt{3} } }{2 \sqrt{2} } ) + c$

переходим от замены:

$\frac{1}{3} ln(tg( \frac{x}{2} ) ) - \frac{1}{3 \sqrt{2} } arctg( \frac{ \sqrt{3}tg( \frac{x}{2} ) + \frac{1}{ \sqrt{3} } }{2 \sqrt{2} } ) + c \\$

- итоговый ответ.