Question

11. Вершинами треугольника АВС являются точки А (1; 2; 0), В (1; 4; 2), C (3; -2; 0)- Тогда длина медианы CM равна:
1) 2 корень 3
2) 3 корень 2
3) корень 6
4) 18
5) другое

Answer 1

Для решения этой задачи нам понадобится формула для вычисления длины медианы в треугольнике, которая имеет вид:

d(M, AB) = sqrt((AC^2 + BC^2) / 2 - (AB^2) / 4)

где AB, AC, BC - длины сторон треугольника, а d(M, AB) - длина медианы, в данном случае медианы CM.

1. Прежде всего, нужно вычислить длины сторон треугольника AB, AC и BC. Для этого используем формулу расстояния между двумя точками в пространстве:

d(P1, P2) = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)

Вычисляем длины сторон:

AB = sqrt((1 - 1)^2 + (4 - 2)^2 + (2 - 0)^2) = sqrt(0^2 + 2^2 + 2^2) = sqrt(0 + 4 + 4) = sqrt(8) = 2 * sqrt(2)

AC = sqrt((3 - 1)^2 + (-2 - 2)^2 + (0 - 0)^2) = sqrt(2^2 + (-4)^2 + 0^2) = sqrt(4 + 16 + 0) = sqrt(20) = 2 * sqrt(5)

BC = sqrt((3 - 1)^2 + (-2 - 4)^2 + (0 - 2)^2) = sqrt(2^2 + (-6)^2 + (-2)^2) = sqrt(4 + 36 + 4) = sqrt(44) = 2 * sqrt(11)

2. Подставляем вычисленные значения длин сторон AB, AC и BC в формулу для вычисления длины медианы:

d(M, AB) = sqrt((AC^2 + BC^2) / 2 - (AB^2) / 4)

= sqrt(((2 * sqrt(5))^2 + (2 * sqrt(11))^2) / 2 - ((2 * sqrt(2))^2) / 4)

= sqrt((4 * 5 + 4 * 11) / 2 - (4 * 2) / 4)

= sqrt((20 + 44) / 2 - 8 / 4)

= sqrt(64 / 2 - 8 / 4)

= sqrt(32 - 2)

= sqrt(30)

3. Получаем, что длина медианы CM равна sqrt(30).

Ответ: Длина медианы CM равна sqrt(30), то есть другое (5).