Question

(y+sinx)dx+(x+cosy)dy=0 решить дифференциальное уравнение

Answer 1

1) Найдем вторые производные:

$F''xy = (y + \sin(x) ) = 1 \\ F''yx = (x + \cos(y) ) = 1$

они равны => это ДУ в полных дифференциалах.

2) Итегрируем по х:

$F = \int\limits(y + \sin(x) )dx = \\ = yx - \cos(x) + \gamma (y)$

Теперь нужно найти неизвестную функцию гамма от у. Найдем ароизводную получившейся функции F и приравняем ее к данной в уравнении.

3)

$F'y = x + \sin(x) + \gamma '(y)$

$x + \sin(x) + \gamma' (y) = x + \cos(y) \\ \frac{d \gamma }{dy} = \cos(y) - \sin(x) \\ \gamma = \int\limits( \cos(y) - \sin(x) )dy \\ \gamma = \sin(y) - y \sin(x) + C$

В итоге общее решение:

$F = xy - \cos(x) + \sin(y) - y \sin(x) + C$