Далее в тексте будем подразумевать под биквадратным трёхчленом и его коэффициентами выражение где под подразумевается квадрат переменной т.е. а его корнями – квадраты искомых корней, если они различны, или его чётным корнем если корень биквадратного трёхчлена – единственный.
Наше уравнение вообще имеет решения только тогда, когда дискриминант биквадратного трёхчлена неотрицателен, при этом, в силу чётности биквадратного уравнения, удобно находить чётный дискриминант через половину среднего коэффициента и без множителей в последнем слагаемом, т.е. по формуле тогда Потребуем, чтобы откуда следует, что
Уравнение не может стать просто квадратным, оно всегда будет иметь старшей степенью 4, поскольку старший коэффициент фиксирован и равен единице. Но биквадратное уравнение может выродится, когда его дискриминант равен нолю, что происходит при а корень биквадратного трёхчлена станет чётным давая два искомых корня Это значение как раз уже и есть одно из искомых решений для параметра
Когда дискриминант больше нуля и биквадратное уравнение не вырождено, то квадратов искомых корней всегда будет два – левый и правый (меньший и больший), однако при некоторых обстоятельствах левый квадрат искомых корней будет отрицательным, а значит, не будет давать пару искомых корней. Среднеарифметическое квадратов искомых корней по теореме Виета, в применении к биквадратному уравнению, будет равно числу, противоположному половине среднего коэффициента, т.е. оно равно Отсюда следует, что правый квадрат искомых корней – всегда положителен, а значит, всегда даёт два корня при положительном дискриминанте.
Левый же квадрат искомых корней отрицателен тогда и только тогда, когда этот левый квадрат лежит левее оси ординат, т.е. левее точки А значит, значение всего трёхчлена взятое от должно давать отрицательное значение, т.е. располагается в нижней межкорневой дуге параболы биквадратного трёхчлена.
Жили были Пошел однажды волк вместе с кумушкой лисой рыбу удить. - Кто понесет корзину? - спросил волк.
- Ты, - ответила лиса,- у тебя хвост потолще моего.
Она крепко привязала корзину к хвосту волка. Улов был обильный. Волк тащил-тащил тяжелую корзину, хвост не выдержал и оборвался.
- Я тебя съем,- сказал волк лисе,- за то, что ты сыграла со мной такую шутку!
меня, мой дружок, милый мой кум! Пойдем лучше с тобой в кузницу, там тебе выкуют хвост покрепче, чтобы он больше не обрывался.
По приказу лисы кузнец положил на наковальню кусок железа и, раскалив его как следует, приложил волку к тому месту, где был оборван хвост.
Волк страшно взвыл от боли и опрометью бросился бежать.
Спустя некоторое время лиса столкнулась со своим кумом нос к носу на дороге. Волк закричал сердито:
- На этот раз ты от меня не уйдешь, я тебя съем!
- Ну, полно, Куцый, мой дружок! Неужели ты станешь мне мстить за невинную шутку? Пойдем-ка со мной, я знаю местечко, где висят прекрасные колбасы. Они, наверное, куда лучше на вкус, чем мое жесткое, жилистое мясо.
Волк лисе украсть колбасы, и они утащили их в лес.
- Теперь,- сказала лиса,- нужно их повесить на верхушку дуба. Ведь если мы оставим их здесь, соберутся другие звери и потребуют свою часть. Не лучше ли нам устроить хорошую кладовую, откуда брать припасы будем мы одни?
Волк согласился, и лиса стала таскать колбасы на верхушку очень высокого дуба, а перетаскавши, принялась их уплетать.
Волк не умел лазить по деревьям и кричит лисе:
- Сбрось-ка мне мою долю!
- Подбирай мои огрызки, Куцый!
- Ах ты, негодная! Да будь ты потверже древесной коры, я и то тебя съем, если поймаю!
Тут волк завыл, и к нему сбежались волки со всего леса.
Он рассказал им про злую проделку своей кумы и попросил отомстить ей, а в награду за обещал поделиться колбасами, которые забрала лиса. Волки согласились. Они решили встать друг другу на плечи, опираясь передними лапами о ствол, и таким образом добраться до верхушки дерева. А Куцый будет стоять внизу и держать на себе всю стаю.
Волки полезли друг на друга, и верхний волк уже почти добрался до того места, где сидела лиса, как она крикнула:
Услышав эти слова, Куцый, которому хорошо запомнилось горячее железо в кузнице, так перепугался, что тотчас шлепнулся на все четыре лапы и пустился наутек. Все волки попадали друг на друга и, обозлившись на Куцего, бросились вслед за ним и задушили его.
А хитрая лиса только посмеивалась, преспокойно доедая свои колбасы.
Наше уравнение вообще имеет решения только тогда, когда дискриминант биквадратного трёхчлена неотрицателен, при этом, в силу чётности биквадратного уравнения, удобно находить чётный дискриминант через половину среднего коэффициента и без множителей в последнем слагаемом, т.е. по формуле
Уравнение не может стать просто квадратным, оно всегда будет иметь старшей степенью 4, поскольку старший коэффициент фиксирован и равен единице. Но биквадратное уравнение может выродится, когда его дискриминант равен нолю, что происходит при
Когда дискриминант больше нуля и биквадратное уравнение не вырождено, то квадратов искомых корней
Левый же квадрат искомых корней отрицателен тогда и только тогда, когда этот левый квадрат лежит левее оси ординат, т.е. левее точки
Отсюда:
О т в е т :