в универмаге города Гайдаровска продавалось ( 1 января ) по цене 1 руб. каждый. Начиная со 2 января ежедневно стоимость каждого товара увеличивалась в 2 или в 3 раза. Известно что 1 февраля все товары имели разные цены. Доказать, что цены каких-то двух товаров различаются по крайней мере в 25 раз.
Для решения данной задачи, нам нужно вначале определить, как изменяется цена товара на каждый последующий день начиная со 2 января.
У нас есть два варианта: цена товара может увеличиваться в 2 раза или в 3 раза.
Пусть первый товар стоит 1 рубль. Рассмотрим два случая:
1. Увеличение цены в 2 раза:
- 2 января цена товара станет 1 * 2 = 2 рубля
- 3 января цена товара будет 2 * 2 = 4 рубля
- 4 января цена товара будет 4 * 2 = 8 рублей
- И так далее...
2. Увеличение цены в 3 раза:
- 2 января цена товара станет 1 * 3 = 3 рубля
- 3 января цена товара будет 3 * 3 = 9 рублей
- 4 января цена товара будет 9 * 3 = 27 рублей
- И так далее...
Теперь давайте рассмотрим все варианты увеличения цен, начиная с 2 января:
1. Увеличение в 2 раза: 2, 4, 8, 16, 32, ...
2. Увеличение в 3 раза: 3, 9, 27, 81, 243, ...
3. Увеличение в 2 раза, затем в 3 раза: 2, 6, 18, 54, ...
4. Увеличение в 3 раза, затем в 2 раза: 3, 9, 27, 54, ...
Теперь давайте предположим, что все цены различаются не более, чем в 25 раз. Рассмотрим 1 февраля.
- Если все цены различаются не более, чем в 25 раз, то максимально возможная цена для товара, у которого цена увеличивается в 2 раза каждый день, будет 32 * 25 = 800 рублей.
- Минимально возможная цена для товара, у которого цена увеличивается в 3 раза каждый день, будет 3 * 25 = 75 рублей.
Таким образом, мы имеем диапазон цен от 75 до 800 рублей к 1 февраля. Разница между максимальной и минимальной ценами составляет 800 - 75 = 725 рублей.
725 рублей - это больше, чем 25 раз (725 > 25), что означает, что цены каких-то двух товаров различаются по крайней мере в 25 раз.
Таким образом, мы доказали, что существуют товары, чьи цены отличаются по крайней мере в 25 раз.
Надеюсь, я смог разъяснить эту задачу и ответить на все ваши вопросы. Если у вас еще есть какие-либо вопросы, пожалуйста, спрашивайте.