1. Выберите верное утверждение: а) если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая
прямая лежит в данной плоскости;
б) если плоскость проходит через прямую, параллельную плоскости β, то плоскость α
параллельна плоскости β;
в) если две прямые пересекают плоскость, то оно параллельны;
г) прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.
2. Назовите все пары скрещивающихся ребер тетраэдра PABC.
3. Точка Т – точка пересечения диагоналей грани ВВ1С1С куба ABCDA1B1C1D1. Прямая
проходит через точку Т и параллельна прямой АВ1. Вычислите площадь полной
поверхности куба, если длина отрезка прямой , расположенного внутри куба, равна 4 см.
4. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 точки О и К – середины рёбер СС1 и АВ.
Вычислите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки О и К
параллельной ребру АС, если АС=20 см, АА1=10 см.
5. В правильной треугольной пирамиде FABC, боковое ребро которой равно стороне
основания, точка Р – середина FB, точка D – середина ребра ВС. Найдите косинус угла
между прямыми AP и FD.
Согласно свойству вписанной окружности, любая прямая, проведенная из вершины треугольника к точке касания окружности с стороной, делит эту сторону на две части, длины которых являются хордами окружности. В нашем случае, такая прямая будет проходить через точку C и делить сторону AB на две равные части длиной 7.5 см каждая.
Мы можем обозначить длины сторон треугольника как AB = 15 см, AC = 7.5 см и BC = 7.5 см. Теперь мы можем использовать формулу полупериметра треугольника и радиус вписанной окружности, чтобы найти площадь треугольника.
Полупериметр треугольника вычисляется по формуле s = (AB + AC + BC) / 2. В нашем случае s = (15 + 7.5 + 7.5) / 2 = 15 см.
Формула площади треугольника через полупериметр и радиус вписанной окружности имеет вид S = sqrt(s * (s - AB) * (s - AC) * (s - BC)), где sqrt обозначает квадратный корень.
Подставляя значения, получаем S = sqrt(15 * (15 - 15) * (15 - 7.5) * (15 - 7.5)) = sqrt(15 * 0 * 7.5 * 7.5) = 0.
Таким образом, площадь треугольника равна 0. Ответ: 0.