Question

Найти общее решение дифференциального уравнения и указать его вид:
y'*sqrt(1+y^2)=x^2/y

Answer 1

$y '\sqrt{1 + {y}^{2} } = \frac{ {x}^{2} }{y}$

это ДУ с разделяющимися переменными.

$\frac{dy}{dx} \sqrt{1 + {y}^{2} } = \frac{ {x}^{2} }{y} \\ \int\limits \: y \sqrt{1 + {y}^{2} } dy = \int\limits {x}^{2} dx \\ \frac{1}{2} \int\limits2y \sqrt{1 + {y}^{2} } = \frac{ {x}^{3} }{3} + C \\ \frac{1}{2} \int\limits {(1 + {y}^{2}) }^{ \frac{1}{2} } d(1 + {y}^{2} ) = \frac{ {x}^{3} }{3} + C\\ \frac{1}{2} \times \frac{ {(1 + {y}^{2}) }^{ \frac{3}{2} } }{ \frac{3}{2} } = \frac{ {x}^{3} }{3} + C\\ \frac{1}{3} \sqrt{ {(1 + {y}^{2}) }^{3} } = \frac{ {x}^{3} }{3} + C\\ \sqrt{ {(1 + {y}^{2}) }^{3} } = {x}^{3} + C$

общее решение