Question

Исследовать функцию y=(x-1)^2/x^2, $y=\frac{(x-1)^2}{x^2}$ (попытался показать как она выглядит через местную вставку уравнений, без понятия если будет работать как надо)

нужны:

1.Область определения D(y) и область допустимых значений E(y) функции.

2.Четность, нечетность функции.

3.Точки пересечения с осями.

4.Асимптоты функции.

5.Экстремумы и интервалы монотонности.

6.Точки перегиба и промежутки выпуклости, вогнутости.

(ссылка на пример исследований)
https://www.webmath.ru/poleznoe/formules_8_26.php

Answer 1

Пошаговое объяснение:

для исследования функции понадобятся первая и вторая производные. я их сразу найду, чтобы потом не повторяться

$y' = \frac{2x-2}{x^{2} } -\frac{2(x-1)^2}{x^{3} }$

$y''=\frac{2}{x^3} -\frac{3(2x-2)}{x^4} =\frac{6-4x}{x^4}$

теперь поехали

1. Область определения D(y) и область допустимых значений E(y) функции.

D(y)= (x∈ R ; x≠ 0)

 E(y) = ( y∈ R ; y ≥0)

2 Четность, нечетность функции.

эта функция не является четной и не является нечетной

четность  y(-x) = y(x) смотрим   $\frac{(-x-1)^2}{(-x)^{2} } \neq \frac{(x-1)^2}{x^2}$

нечетность y(-x) = -y(x)  смотрим   $\frac{(-x-1)^2}{(-x^{2} )} \neq- \frac{(x-1)^2}{x^2}$

3.Точки пересечения с осями. или так называемые нули функции

y' = 0;  $\frac{2x-2}{x^2} =0$   ⇒  x₀ = 1  y(1)=0;  точка пересечения с осью ОХ   К(1;0)

4.Асимптоты функции

ищем в виде y = ax +b

из определения асимптоты   $\lim_{x \to \infty} (kx+b - y(x))$

найдем  к и b

$k = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(x-1)^2}{x^2} }{x} = \lim_{x\to \infty} \frac{x^2-2x+1}{x^3} =0$

$b= \lim_{x \to \infty} \frac{(x-1)^2}{x^2} -0*x = 1$

мы получили горизонтальную асимптоту у = 1

теперь вртикальная асимптота

точка разрыва у нас х₀ = 0

посмотрим, какого она рода и является ли х = 0  асимптотой

$\lim_{x \to 0^-} \frac{(x-1)^2}{x^2} = + \infty$

$\lim_{x \to 0^+} \frac{(x-1)^2}{x^2} = + \infty$

x= 0  есть вертикальная асимптота

5.Экстремумы и интервалы монотонности.

критические точки, (они же точки экстремума, они же потенциальные точки смены знака)  ищутся y' = 0

$\frac{2x-2}{x^3} =0$   ⇒  x₁ = 1 - точка экстремума.

используем вторую производную, чтобы определить точка минимума или точка максимума  

$y''=\frac{6-4x}{x^4}$  y''(1)=2 > 0  значит точка x₁ = 1 точка минимума функции.

к этой точке добавим точку разрыва х₀ = 0

и вот мы получили интервалы возрастания и убывания функции

смотрим знак производной на интервале. берем любую точку ∈ интервалу и вычисляем значение производной

(-∞; 0) y'(-1) = 4 > 0 - функция возрастает

(0; 1)  y'(0,5) = -8 < 0 - функция убывает

(1; +∞) y'(2) = 0.25 > 0 - функция возрастает

6.Точки перегиба и промежутки выпуклости, вогнутости.

$y''=\frac{6-4x}{x^4}$

$\frac{6-4x}{x^4}=0;$  ⇒  x₁ = 1.5 точка перегиба

к этой точке добавим точку разрыва  x₀ = 0 - потенциальную точку перегиба

и вот мы получили интервалы перегибов функции

(-∞; 0) y''(-1) = 10 > 0 - функция вогнута

(0; 1,5)  y''(1) = 2  > 0 - функция вогнута

(1.5; +∞) y''(2) = -0.25 < 0 - функция выпукла

 x₁ = 1.5 -да, а вот   x₁ = 1.5 нет тогда у(1,5) = 1/9

т.о точка прегиба M(3/2; 1/9)