Прямая L проходит черезточку M (−1;3;−1) и перпендикулярна плоскости π : 3x−4y+5z+3=0. Найдите координаты точки, в которой прямая L пересекает плоскость τ :x+2y−5z+20=0.
Революционный этюд — этюд для фортепиано до минор, сочинение 10, № 12, написанный польским композитором Фредериком Шопеном во время восстания в Польше 1830 года против русского самодержавия. Жанр этюда у других композиторов в основном означает «упражнение». В творчестве Фредерика Шопена этот жанр имеет иное значение. Несмотря на то, что все его этюды развивают какой-либо один тип фортепианной фактуры (октавная техника, двойные интервалы, арпеджио и другие), каждый из его этюдов представляет собой законченную пьесу, гармонически и мелодически яркую и запоминающуюся.
Начинается Революционный этюд с диссонанса — доминантсептаккорда, играемого правой рукой, после которого из среднего в низкий регистр следует пассаж, который исполняется левой рукой. Это два ключевых элемента этюда, в основе которого — пассажи (арпеджио) левой руки и аккорды в правой.
Шопен в этюде использует в мелодии ритм национального польского танца — полонеза. Этот приём создаёт как национальный характер этюда, так и патетическое настроение пьесы. За 30 лет до этого Людвиг ван Бетховен, передавая в музыке дух революционной борьбы, написал «Патетическую сонату», во вступлении первой части которой звучит тот же мотив, что и позже у Шопена, схож и ритм данных мелодических отрезков. Причём оба произведения написаны в одной тональности — до-минор.
В 1895 году русский композитор Александр Скрябин написал Этюд opus 8 № 12 ре-диез минор, который, при совершенно ином стиле музыки (характерные для Скрябина приёмы изложения фактуры, сложная полиритмия, гармоническое мышление), начинается с той же ритмоформулы, которая была и в до-минорном Революционном этюде Шопена. Этот этюд также известен как Революционный.
Нормальный вектор плоскости π : 3x−4y+5z+3=0 равен N = (3; -4; 5),
Для прямой L это будет направляющий вектор.
Тогда параметрические уравнения прямой L будут иметь вид:
x = 3 t + (-1),
y = -4 t + 3,
z = 5 t + (-1).
Подставим эти выражения в уравнение плоскости τ :x+2y−5z+20=0.
Получим -30t + 30 = 0.
Отсюда t = -30/-30 = 1.
Подставим значение t в параметрические уравнения прямой L и находим координаты точки пересечения прямой L с плоскостью τ .
x = 2,
y = -1,
z = 4.