Question

Найдите локальный экстремум функции

Answer 1

Пошаговое объяснение:

вообще-то, если локальный, то на отрезке

ну да ладно

$y=\frac{x}{1+x^2}$

производная функции

$y'=\frac{x'(1+x^2)-x(1+x^2)'}{(1+x^2)^2} = \frac{1-x^2}{(1+x)^2}$

$\frac{1-x^2}{(1+x)^2} =0;$   ⇒   x₁ = -1;   x₂ = 1; - это критические точки

используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. найдем вторую производную:

$y''=\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2} =\left[\begin{array}{ccc}( \frac{u}{v})' =\frac{u'v-uv'}{v^2} \\\\\end{array}\right] = \frac{2x(x^2-3)}{(x^2+1)^3}$

вычислим значение второй производной в критических точках

y'' (-1) = 1/2 > 0 - значит х₁= -1 это точка минимума и у(-1) = -1/2

y''(1) = -1/2 < 0 -значит х₂= 1 это точка максимума и у(1) = 1/2