Question

Вычислить определённый интеграл от функции

Answer 1

Пошаговое объяснение:

$\int\limits^{pi/6}_{pi/3} {e^{6x}cos(3x)} \, dx$

здесь получится рекурсивный интеграл. поэтому сначала решаем неопределенный интеграл

схема такая: два раза будем интегрировать по частям

формула интегрирования по частям

$\int {fg'} = fg-\int{f'g}$

итак, первый раз

f = cos(3x)  ⇒  f' = -3sin(3x)

g'= e⁶ˣ  ⇒  g = (e⁶ˣ )/6

тогда

$\int {e^{6x}cos(3x)} \, dx= \frac{e^{6x}cos(3x)}{6} -\int {-\frac{e^{6x}sin(3x)}{2} } \, dx$

теперь второй раз интегрируем получившийся справа интеграл

f  = -3sin(3x)   ⇒  f'  = -9cos(3x)

g'  = (e⁶ˣ )/6   ⇒   g =  (e⁶ˣ )/36  

тогда

$\int {e^{6x}cos(3x)} \, dx= \frac{e^{6x}cos(3x)}{6} -(-\frac{e^{6x}sin(3x)}{12} -\int {-\frac{e^{6x}cos(3x)}{4} } \, dx )$

или

$\int {e^{6x}cos(3x)} \, dx= \frac{e^{6x}cos(3x)}{6} +\frac{e^{6x}sin(3x)}{12} -\frac{1}{4} \int {e^{6x}cos(3x) } \, dx )$

вот, мы видим, что исходный интеграл повторился. теперь у нас вроде как уравнение относительно этого интеграла. решим его и получим

$\int {e^{6x}cos(3x)} \, dx= \frac{3e^{6x}sin(3x)+6e^{6x}cos(3x)}{45} +C=$

$=\frac{e^{6x}(sin(3x)+2cos(3x))}{15} +C$

теперь осталось только подставить пределы интегрирования

$\frac{e^{6x}(sin(3x)+2cos(3x))}{15} I_{pi/6}^{pi/3} =-\frac{2e^{2pi}+e^{pi}}{15}$

всё. это ответ