Question

Используя свойства числа сочетаний, найти $c_6^{4} +c_6^{5}$

Answer 1

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами числа сочетаний.

Одно из свойств гласит: $c_n^{k} = c_n^{n-k}$, где n и k - натуральные числа.

Согласно данному свойству, $c_6^{4} +c_6^{5}$ можно записать как $c_6^{2} +c_6^{1}$.

Подставим значения в формулу сочетаний: $c_6^{2} +c_6^{1} = \frac{6!}{2!(6-2)!} + \frac{6!}{1!(6-1)!}$.

Раскроем факториалы: $c_6^{2} +c_6^{1} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot (6-2)!} + \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{1 \cdot (6-1)!}$.

Упростим выражение $c_6^{2} +c_6^{1} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}{2 \cdot 1} + \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{1}$.

Произведем вычисления: $c_6^{2} +c_6^{1} = 15 + 720$.

Сложим полученные значения: $c_6^{2} +c_6^{1} = 735$.

Таким образом, $c_6^{4} +c_6^{5} = 735$.