Заданы координаты вершин треугольника А1(7,2,2) А2(5,7,7) А3(5,3,1). Найти
а) векторы с=А1А2 и d= А1А3
б)длины векторов c и d
в) скалярное произведение векторов с d
д) угол между векторами c и d
е) векторное произведение с d
ж) площадь треугольника А1А2А3
Вектор c = А2 - А1 = (5, 7, 7) - (7, 2, 2) = (5 - 7, 7 - 2, 7 - 2) = (-2, 5, 5)
Вектор d = А3 - А1 = (5, 3, 1) - (7, 2, 2) = (5 - 7, 3 - 2, 1 - 2) = (-2, 1, -1)
б) Длина вектора вычисляется по формуле: |v| = √(x^2 + y^2 + z^2), где (x, y, z) - координаты вектора.
Длина вектора c = √((-2)^2 + 5^2 + 5^2) = √(4 + 25 + 25) = √(54) = 3√6
Длина вектора d = √((-2)^2 + 1^2 + (-1)^2) = √(4 + 1 + 1) = √(6)
в) Скалярное произведение двух векторов вычисляется по формуле: v1·v2 = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2, где (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) - координаты векторов.
Скалярное произведение векторов c и d = (-2)*(-2) + 5*1 + 5*(-1) = 4 + 5 - 5 = 4
г) Угол между векторами можно найти по формуле: cos(θ) = (v1·v2) / (|v1| * |v2|), где v1·v2 - скалярное произведение векторов, |v1| и |v2| - длины векторов.
cos(θ) = (4) / (3√6 * √6) = (4) / (3 * 6) = (4) / (18) = 2/9
θ = arccos(2/9)
е) Векторное произведение двух векторов вычисляется по формуле: v1 x v2 = (y1*z2 - z1*y2, z1*x2 - x1*z2, x1*y2 - y1*x2), где (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) - координаты векторов.
Векторное произведение векторов c и d = (5*(-1) - 5*1, 5*(-2) - (-2)*1, (-2)*1 - 5*(-2)) = (-10 - 5, -10 - (-2), (-2) - (-10)) = (-15, -8, 8)
ж) Площадь треугольника можно найти, воспользовавшись формулой Герона. Для этого нужно найти длины всех сторон треугольника и подставить их в формулу.
Длина стороны AB = |c| = 3√6
Длина стороны BC = |d| = √6
Длина стороны AC = |А2А3| = √(2^2 + 4^2 + 6^2) = √(4 + 16 + 36) = √56 = 2√14
Полупериметр треугольника = (AB + BC + AC) / 2 = (3√6 + √6 + 2√14) / 2
Площадь треугольника = √(полупериметр * (полупериметр - AB) * (полупериметр - BC) * (полупериметр - AC))
Подставляем значения и получаем ответ.
Обратите внимание, что значения выражены в виде корней и не могут быть упрощены.