Question

Выясните чётной или нечётной является функция:
б,в,г
​

Answer 1

Если для любого $x$из области определения функции выполняется равенство  $f(-x) = f(x)$, то функция является чётной.

Если для любого $x$из области определения функции выполняется равенство  $f(-x) = -f(x)$, то данная функция является нечётной.

Если же ни одно из этих равенств не выполняется, то функция не является ни чётной, ни нечётной.

б)

$f(x) = \dfrac{2}{x^3-3x}$

Отсюда  $-f(x) = -\dfrac{2}{x^3-3x}$ .

Для начала найдём область определения данной функции. Её знаменатель не должен быть равен нулю:

$x^3 - 3x \neq 0\\\\x(x^2-3) \neq 0\\\\\begin{equation*}\begin{cases}x \neq 0\\x^2 - 3 \neq 0\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \Leftrightarrow\ \begin{equation*}\begin{cases}x \neq 0\\x^2\neq 3\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \Leftrightarrow\ \begin{equation*}\begin{cases}x \neq 0\\x \neq \sqrt{3}\\x \neq -\sqrt{3}\end{cases}\end{equation*}$

Итак, область определения нашли. Теперь найдём  $f(-x)$, для этого все $x$в функции заменим на  $-x$.

$f(-x) = \dfrac{2}{(-x)^3 - 3\cdot (-x)} = \dfrac{2}{-x^3 - (-3x)} = \dfrac{2}{-x^3 + 3x} = \dfrac{2}{-(x^3 - 3x)} =\\\\\\= -\dfrac{2}{x^3-3x} = \boxed{\bf{-f(x)}}$

Таким образом, данная функция является нечётной.

в)

$f(x) = \dfrac{1}{x^2+2}$

Отсюда  $-f(x) = -\dfrac{1}{x^2+2}$.

Для начала найдём область определения данной функции. Её знаменатель не должен быть равен нулю:

$x^2 + 2 \neq 0\\\\x^2 \neq -2\\\\x \in \mathbb{R}$

То есть, для данной функции за $x$можно принять любое действительное число. Теперь найдём  $f(-x)$, для этого все $x$в функции заменим на  $-x$.

$f(-x) = \dfrac{1}{(-x)^2 + 2} = \dfrac{1}{x^2 + 2} = \boxed{\bf{f(x)}}$

Таким образом, данная функция является чётной.

г)

$f(x) = 5x^3 + x^2 + 4$

Отсюда  $-f(x) = -\left(5x^3 + x^2 + 4\right) = -5x^3 - x^2 - 4$.

$x$ может быть любым числом, поскольку никаких ограничений на аргумент здесь не накладывается. Теперь найдём  $f(-x)$, для этого все $x$в функции заменим на  $-x$.

$f(-x) = 5\cdot(-x)^3 + (-x)^2 + 4 = 5\cdot \left(-x^3\right) + x^2 + 4 = -5x^3 + x^2 + 4$.

$f(-x) \neq f(x)$ и  $f(-x) \neq -f(x)$, а значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.