Question

Вычислить y' и y'' для функции y(x) заданной неявно

Answer 1

Пошаговое объяснение:

это функция заданная в неявном виде

$F(x,y) = x^{2/3}+y^{2/3} -a^{2/3}\\$

тогда производную ищем по формуле:

$\frac{dy}{dx}=-\frac{F'_x}{F'_y}$

у нас         $F'_x =\frac{2}{3x^{1/3} };$     $F'_y=\frac{2}{3y^{1/3}} ;$

тогда первая производная

$y'=\frac{dy}{dx} =-\frac{2}{3x^{1/3}} :\frac{2}{3y^{1/3}} =-\frac{y^{1/3}}{x^{1/3}}$

вторая производная

$\displaystyle y''=\left[\begin{array}{ccc}\bigg(\displaystyle \frac{u}{v}\bigg )'=\frac{u'v-uv'}{v2} \\\\\end{array}\right] =$

$=\displaystyle -\frac{\bigg ((1/3)y^{-2/3}y'\bigg )x^{1/3} -y^{1/3}\bigg((1/3)x^{-2/3}\bigg)}{x^{2/3}} =$         (1)

теперь сюда вместо y' подставляем $\displaystyle -\frac{y^{1/3}}{x^{1/3}}$  и считаем эту всю мутотень

первая скобка числителя

$\displaystyle \frac{1}{3y^{2/3} } *\bigg(-\frac{y^{1/3}}{x^{1/3}} \bigg )*x^{1/3} = -\frac{1}{3y^{1/3}}$

вторая скобка числителя (ее берем сразу со знаком "-"

$\displaystyle - \frac{y^{1/3}}{3x^{2/3}}$

теперь -1/3 за скобки, а в скобках приводим к общему знаменателю

$\displaystyle -\frac{1}{3}* \bigg( \frac{x^{2/3}+y^{2/3}}{y^{1/3}x^{2/3}} \bigg)$

и теперь подставляем всё это в основную формулу (1) и получаем

$y'' = -\bigg (- \displaystyle \frac{1}{3} *\frac{x^{2/3}+y^{2/3}}{x^{4/3}y^{1/3}} \bigg )=\frac{x^{2/3}+y^{2/3} }{3x \sqrt[3]{xy} }$