Тметим на координатной прямой точки с координатами -3 и 2. если точка расположена между ними, то ей соответствует число, которое больше -3 и меньше 2. верно и обратное: если число х удовлетворяет условию -3< x< 2 , то оно изображается точкой, лежащей между точками с координатами -3 и 2. множество всех чисел, удовлетворяющих условию -3< x< 2, называется числовым промежутком или просто промежутком от -3 до 2 и обозначается так: (-3; 2). на рисунках изображены множество чисел х, для которых выполняется неравенство х< 10 и х≤10. эти множества представляют собой промежутки, обозначаемые соответственно (-∞; 10) и (-∞; 10]. читается так: число х принадлежит промежутку от минус бесконечности (-∞) до 10 (х< 10) и число х принадлежит промежутку от минус бесконечности (-∞) до 10, включая число 10 (х≤10). знак равенства в неравенстве обозначается квадратной скобкой в указании промежутка. множество, составляющее общую часть некоторых множеств а и в, называют пересечением этих множеств и обозначают а∩в. промежуток [3; 5] является пересечением промежутков [-1; 5] и [3; 7]. это можно записать так: [-1; 5]∩[3; 7]=[3; 5].промежутки [0; 4] и [6; 10] не имеют общих элементов. если множество не имеет общих элементов, то говорят, что их пересечение пусто. значит, пересечение промежутков [0; 4]∩[6; 10]=0. объединение числовых промежутков каждое число из промежутка [1; 7] принадлежит хотя бы одному из промежутков [1; 5] и [3; 7], то есть, либо промежутку [1; 5], либо промежутку [3; 7], либо им обоим. множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств а и в, называют объединением этих множеств обозначают . промежуток [1; 7] является объединением промежутков [1; 5] и [3; 7]. это можно записать так: заметим, что объединение промежутков не всегда представляет собой промежуток, например множество не является промежутком. 1. числовым промежутком называется множество всех чисел, удовлетворяющих неравенству.2. знак равенства в неравенстве обозначается квадратной скобкой в указании промежутка.3. множество, составляющее общую часть некоторых множеств а и в, называют пересечением этих множеств и обозначают а∩в. 4. множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств а и в, называют объединением этих множеств обозначают .
Верховная власть над всеми землями в Северо-Восточной Руси формально принадлежала великому князю владимирскому, что закреплялось выдаваемыми золотоордынскими ханами ярлыками на «великое княжение» . Территория собственно Владимирского великого княжества к концу XI I I в. значительно сократилась (в результате выделения из него других княжеств) и включала в себя Владимир, Боголюбово, Гороховец, Кострому. По мере усиления других княжеств значение Владимира как стольного города всей Северо-Восточной Руси падает. После смерти Александра Невского, которому еще удавалось удерживать в повиновении удельных князей и Новгород, великокняжеский титул превращается в объект ожесточенного соперничества между князьями, чему всячески своей политикой на Руси правители Золотой Орды. С конца XI I I в. князья, получавшие ярлык на великое княжение, оставались жить в столицах своих княжеств. В XIV в. в отдельных землях Северо-Восточной Руси складываются свои «великие княжения» , правители которых, оставаясь формально вассалами великого князя владимирского, были в свою очередь верховными правителями для крупных и мелких феодалов из их собственных «великих княжений» — удельных князей, бояр, дворян, обязанных ему военной службой и другими вассальными обязательствами. Междукняжеские договоры, носившие в основном характер двустороннего соглашения («докончания» ) великого князя с своим вассалом (или несколькими вассалами) , постепенно вытесняли распространенную ранее практику созыва общерусских (или общеземельных) съездов («снемов» ) князей и вассалов. В договорных грамотах князей определялись условия и объем вассальной службы, границы княжеских владений, условия разрешения земельных и иных споров, торговых отношений между княжествами и т. д. Значительное место в договорных грамотах отводилось вопросам, связанным с крестьянскими переходами из одного княжества в другое, с беглыми холопами, борьбе с «разбойниками» . Вершину феодальной иерархии составляли «великие князья» , титул которых соединялся с понятием верховного сюзерена. Вторую ступень составляли их вассалы — удельные князья, обладавшие правами суверенных государей в пределах своих княжеств . Третью ступень занимали княжеские вассалы из числа крупнейших феодалов-землевладельцев княжества, — бояре и служилые князья, потерявшие права удельных. Термин «боярин» , прилагавшийся ко всякому знатному богатому землевладельцу, постепенно стал получать значение высшего придворного чина, участника совещательного при князе совета (боярской думы) — бояре «великие» и «введенные» . Низший слой феодальной иерархии составляли «слуги» , мелкие служилые феодалы, владевшие землями на вотчинном и условном феодальном держании. «Слуги» составляли основной контингент княжеской и боярской администрации, несли военную службу. В XIV -XV вв. для обозначения таких «слуг» входят в обиход новые термины: «дворяне» и «дети боярские» . Многоступенчатая, с сложными внутренними взаимосвязями феодальная иерархия представляла собой в период феодальной раздробленности форму организации господствующего класса.
