Question

решите задача 10-11классов

Answer 1

Пошаговое объяснение:

7.

$(2 - y)dy = xdx \\ \int\limits(2 - y)dx =\int\limits \: xdx \\ 2 - \frac{ {y}^{2} }{2} = \frac{ {x}^{2} }{2} + c$

общее решение

8.

$ydx - xdy = 0 \\ xdy = ydx \\ \int\limits \frac{dy}{y} = \int\limits \frac{dx}{x} \\ ln(y) = ln(x) + ln(c) \\ ln(y) = ln(cx) \\ y = cx$

общее решение

9.

$(1 + u)vdu + (1 - v)dv = 0 \\ (1 - v)dv = - v(1 + u)du \\ \int\limits \frac{1 - v}{v} dv = - \int\limits(1 + u)du \\ \int\limits( \frac{1}{v} - 1)dv = - u - \frac{ {u}^{2} }{2} + c \\ ln(v) - v = - u - \frac{ {u}^{2} }{2} + c$

общее решение

10.

$(1 + y)dx = (1 - x)dy \\ \int\limits \frac{dy}{1 + y} = \int\limits \frac{dx}{1 - x} \\ \int\limits \frac{d(1 + y)}{1 + y} = - \int\limits \frac{d(1 - x)}{1 - x} \\ ln(1 + y) = - ln(1 - x) + ln(c) \\ 1 + y = \frac{c}{1 - x} \\ y = \frac{c}{1 - x} - 1 \\ y = \frac{c - 1 + x}{1 - x} \\ y = \frac{c + x}{1 - x}$

общее решение

11.

$(1 + {y}^{3} )xdx - (1 + {x}^{2} ) {y}^{2} dy = 0\\ (1 + {x}^{2} ) {y}^{2} dy = (1 + {y}^{3} )xdx \\ \int\limits \frac{ {y}^{2} dy}{ {y}^{3} + 1} = \int\limits \frac{xdx}{1 + {x}^{2} } \\ \frac{1}{3} \int\limits \frac{3 {y}^{2} dy}{ {y}^{3} + 1} = \frac{1}{2} \int\limits \frac{2xdx}{ {x}^{2} + 1} \\ \frac{1}{3} \int\limits \frac{d(1 + {y}^{3}) }{1 + {y}^{3} } = \frac{1}{2}\int\limits\frac{d( {x}^{2} + 1)}{ {x}^{2} + 1 } \\ \frac{1}{3} ln( {y}^{3} + 1) = \frac{1}{2} ln( {x}^{2} + 1 ) + ln(c) \\ ln( {y}^{3} + 1) = \frac{3}{2} ln( {x}^{2} + 1) + 3ln(c) \\ ln( {y}^{3} + 1) = ln( \sqrt{ {( {x}^{2} + 1) }^{3} } ) + ln( {c}^{3} ) \\ {y}^{3} + 1 = {c}^{3} \sqrt{ {( {x}^{2} + 1)}^{3} } \\ {y}^{3} + 1 = c \sqrt{ {( {x}^{2} + 1)}^{3} } \\ {y}^{3} = c \sqrt{ {( {x}^{2} + 1)}^{3} } - 1$

общее решение

12.

$( {t}^{2} - x {t}^{2} ) \frac{dx}{dt} + {x}^{2} + {x}^{2} t = 0 \\ {t}^{2} (1 - x) \frac{dx}{dt} + {x}^{2} (1 + t) = 0 \\ {t}^{2} (1 - x) \frac{dx}{dt} = - {x}^{2} (1 + t) \\ \int\limits \frac{(1 - x)dx}{ {x}^{2} } = - \int\limits \frac{(1 + t)dt}{ {t}^{2} } \\ \int\limits( {x}^{ - 2} - \frac{1}{x} )dx = - \int\limits( {t}^{ - 2} + \frac{1}{t}) dt \\ \frac{ {x}^{ - 1} }{ - 1} - ln(x) = - \frac{ {t}^{ - 1} }{ - 1} - ln(t) + c \\ - \frac{1}{x} - ln(x) = \frac{1}{t} - ln(t) + c \\ \frac{1}{x} + ln(x) = \frac{1}{t} + ln(t) - c$

общее решение

13.

$(y - a)dx + {x}^{2} dy = 0 \\ {x}^{2} dy = - (y - a)dx \\ \int\limits \frac{dy}{y - a} = - \int\limits \frac{dx}{ {x}^{2} } \\ \int\limits \frac{d(y - a)}{y - a} = - \frac{ {x}^{ - 1} }{ - 1} + c \\ ln(y - a) = \frac{1}{x} + c$

общее решение