Рассмотрим вопрос о распределении в классах по модулю последовательности
(1)
где - некоторое число, взаимно простое с модулем. По теореме Эйлера имеем , и поэтому , при любом целом положительном . Следовательно, среди степеней (1) числа найдется бесконечное количество чисел, сравнимых с 1 по модулю .
Определение 1. Наименьшее натуральное число , для которого справедливо сравнение
(2)
называется показателем числа по модулю или показателем, которому принадлежит число по модулю и обозначается символом .
Очевидно, что. Требование является существенным.
Определение 2. Если , то называют первообразным корнем (примитивным) по модулю .
1°. Если , то числа и принадлежат по этому модулю одному и тому же показателю, то есть .
Доказательство. Пусть , . Так как , то
.
Следствие 1. Все числа одного и того же класса имеют один и тот же показатель.
2°. Если , то .
Доказательство. Необходимость. Пусть . По теореме о делении с остатком имеем , причем . Поскольку , то . Следовательно, . А это означает, что .
Достаточность. Пусть . Тогда . Поскольку , то , то есть .
Следствие 2. Если и , то .
Следствие 3. Показатель , которому принадлежит число по модулю , является делителем числа , то есть .
3°. Если , то .
Следствие 4. Показатель, которому принадлежит по модулю произведение чисел , равен произведению показателей, которым принадлежат по модулю числа , если показатели попарно взаимно простые.
4°. Если , то .
2. Первообразные корни.
Теорема 1. Если - первообразный корень, то система - ПрСВ.
Действительно, в данной системе имеется - вычетов, они не сравнимы и взаимно просты с модулем .
Теорема 2. По любому простому модулю существует хотя бы один первообразный корень.
Доказательство. Действительно, пусть
(3)
- все различные показатели, которым по модулю принадлежат числа
. (4)
Пусть - наименьшее общее кратное этих показателей и - его каноническое разложение. Каждый множитель этого разложения делит по меньшей мере одно число ряда (3), которое, следовательно, может быть представлено в виде: . Пусть - одно из чисел ряда (4), принадлежащих показателю . Согласно свойству 4° число принадлежит показателю , согласно свойству 3° произведение принадлежит показателю . Поэтому, согласно следствия 2 свойства 2° показателей, - делитель . Но поскольку числа (3) делят , все числа (4) являются решениями сравнения ; поэтому будем иметь . Следовательно, и - первообразный корень.
Теорема 3. Если существует хотя бы одно число, принадлежащее по модулю показателю , то всего классов таких чисел будет .
Следствие 5. Первообразных корней по простому модулю существует .
Unsere Schule hat verschiedene Fächer zu helfen, das Bewusstsein und machen die Wahrnehmung der Welt interessant. Vor allem aber Ich mag Mathematik. Dieser Artikel ist etwas Besonderes, mit ihm über ganz Schulleben kommt. Die Mathematik ist die älteste und wichtigste Wissenschaft. Viele Menschen nutzen mathematisches Wissen in der Antike, vor Tausenden von Jahren. Sie waren notwendig, und die antiken Baumeister Kaufleute, Soldaten izemlemeram, Priester und Reisende. Und heute kein Mensch kann sie nicht im Leben tun, ohne eine gute Kenntnisse in Mathematik. Worker und ein Matrose, ein Ingenieur und polevod, ein Pilot und eine Hausfrau führen verschiedene Berechnungen mit elektronischen Rechenmaschinen und anspruchsvolleren Computern. Die Grundlage für gutes Verständnis für Mathematik - Rechnen, denken an die Vernunft, zu erfolgreichen Lösungen von Problemen zu finden. Mathematik lehrt uns, Elena Malakauskene. In der Lektion werden wir eine Menge an nützlichen und interessanten Informationen nicht nur auf Mathematik, sondern über die Geschichte, Technologie, die Welt um sie herum zu lernen. Nicht alle Studenten haben eine große Liebe zur Mathematik, weil sie glauben, dass sie keine mathematischen Fähigkeiten haben. Die Mathematik ist ein schwieriges Thema. Es gibt uns einen unerforschten Weiten der mathematischen Logik und lösen Probleme Rechnung. Mathematik - faszinierende Wissenschaft!
Рассмотрим вопрос о распределении в классах по модулю последовательности
(1)
где - некоторое число, взаимно простое с модулем. По теореме Эйлера имеем , и поэтому , при любом целом положительном . Следовательно, среди степеней (1) числа найдется бесконечное количество чисел, сравнимых с 1 по модулю .
Определение 1. Наименьшее натуральное число , для которого справедливо сравнение
(2)
называется показателем числа по модулю или показателем, которому принадлежит число по модулю и обозначается символом .
Очевидно, что. Требование является существенным.
Определение 2. Если , то называют первообразным корнем (примитивным) по модулю .
1°. Если , то числа и принадлежат по этому модулю одному и тому же показателю, то есть .
Доказательство. Пусть , . Так как , то
.
Следствие 1. Все числа одного и того же класса имеют один и тот же показатель.
2°. Если , то .
Доказательство. Необходимость. Пусть . По теореме о делении с остатком имеем , причем . Поскольку , то . Следовательно, . А это означает, что .
Достаточность. Пусть . Тогда . Поскольку , то , то есть .
Следствие 2. Если и , то .
Следствие 3. Показатель , которому принадлежит число по модулю , является делителем числа , то есть .
3°. Если , то .
Следствие 4. Показатель, которому принадлежит по модулю произведение чисел , равен произведению показателей, которым принадлежат по модулю числа , если показатели попарно взаимно простые.
4°. Если , то .
2. Первообразные корни.
Теорема 1. Если - первообразный корень, то система - ПрСВ.
Действительно, в данной системе имеется - вычетов, они не сравнимы и взаимно просты с модулем .
Теорема 2. По любому простому модулю существует хотя бы один первообразный корень.
Доказательство. Действительно, пусть
(3)
- все различные показатели, которым по модулю принадлежат числа
. (4)
Пусть - наименьшее общее кратное этих показателей и - его каноническое разложение. Каждый множитель этого разложения делит по меньшей мере одно число ряда (3), которое, следовательно, может быть представлено в виде: . Пусть - одно из чисел ряда (4), принадлежащих показателю . Согласно свойству 4° число принадлежит показателю , согласно свойству 3° произведение принадлежит показателю . Поэтому, согласно следствия 2 свойства 2° показателей, - делитель . Но поскольку числа (3) делят , все числа (4) являются решениями сравнения ; поэтому будем иметь . Следовательно, и - первообразный корень.
Теорема 3. Если существует хотя бы одно число, принадлежащее по модулю показателю , то всего классов таких чисел будет .
Следствие 5. Первообразных корней по простому модулю существует .