Для решения данной задачи мы можем воспользоваться формулой для коэффициента корреляции. Данный коэффициент показывает, насколько сильно связаны две случайные величины между собой.
Коэффициент корреляции можно вычислить следующим образом:
r = (cov(x, y))/(σx * σy),
где cov(x, y) - ковариация между x и y, σx и σy - стандартные отклонения x и y соответственно.
Давайте введем случайную величину z = a + b, которая будет равна 1, если изделие обладает обоими дефектами (a и b), и 0 - в противном случае.
Теперь нам нужно найти ковариацию между x и y. Для этого воспользуемся следующей формулой:
cov(x, y) = E[(x - E[x])(y - E[y])],
где E[x] и E[y] - математические ожидания для x и y соответственно.
В нашем случае математические ожидания можно найти следующим образом:
Для решения данной задачи, нам сначала необходимо определить общее количество способов выбора карточек одну за другой. Затем мы посчитаем количество благоприятных исходов, когда мы получаем нужное слово. В конце, разделив количество благоприятных исходов на общее количество возможных исходов, мы найдем вероятность.
а) Посмотрим на слово "миля". Оно состоит из 4 различных букв ("м", "и", "л", "я"). Нам нужно учесть, что карточку с буквой "м" мы уже выбрали. Поэтому для выбора оставшихся 3 букв ("и", "л", "я") мы будем использовать комбинаторику.
Общее количество возможных исходов можно найти с помощью правила умножения. На первом месте мы можем выбрать любую из 6 карточек. На втором месте уже остается 5 карточек, на третьем - 4, на четвертом - 3. Итого получаем:
общее количество способов выбора карточек = 6 * 5 * 4 * 3 = 360.
Теперь найдем количество благоприятных исходов, то есть количество способов выбора карточек таким образом, чтобы получилось слово "миля".
Сначала мы уже выбрали карточку с буквой "м". Остается выбрать 3 карточки из оставшихся 5: "и", "л", "я". Порядок выбора не важен, поэтому здесь нам пригодится формула сочетаний без повторений.
Таким образом, вероятность получить слово "миля" будет равна:
P(миля) = количество благоприятных исходов / общее количество исходов = 10 / 360 ≈ 0.0278.
Ответ: Вероятность того, что выбрав карточки наугад одну за другой, получится слово "миля", составляет около 0.0278.
б) Теперь рассмотрим слово "молния". Оно состоит из 7 различных букв ("м", "о", "л", "н", "и", "я"). По аналогии с предыдущим пунктом, найдем общее количество возможных исходов.
общее количество способов выбора карточек = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720.
Найдем количество благоприятных исходов, то есть количество способов выбора карточек таким образом, чтобы получилось слово "молния".
Сначала уже выбрана карточка с буквой "м", и остается выбрать 6 карточек из оставшихся 5: "о", "л", "н", "и", "я". Порядок выбора не важен, поэтому снова использовать формулу сочетаний без повторений.
Коэффициент корреляции можно вычислить следующим образом:
r = (cov(x, y))/(σx * σy),
где cov(x, y) - ковариация между x и y, σx и σy - стандартные отклонения x и y соответственно.
Давайте введем случайную величину z = a + b, которая будет равна 1, если изделие обладает обоими дефектами (a и b), и 0 - в противном случае.
Теперь нам нужно найти ковариацию между x и y. Для этого воспользуемся следующей формулой:
cov(x, y) = E[(x - E[x])(y - E[y])],
где E[x] и E[y] - математические ожидания для x и y соответственно.
В нашем случае математические ожидания можно найти следующим образом:
E[x] = P(x = 1) = 3% = 0.03,
E[y] = P(y = 1) = 4.5% = 0.045.
Теперь вычислим ковариацию:
cov(x, y) = (0 * 0.045 + 1 * 0.03 - 0.03 * 0.045) = 0.03 - 0.00135 = 0.02865.
Теперь нам нужно найти стандартные отклонения для x и y.
Для нахождения σx и σy воспользуемся следующей формулой:
σx = sqrt(E[x^2] - E[x]^2),
σy = sqrt(E[y^2] - E[y]^2).
В нашем случае:
E[x^2] = 0^2 * (1 - 0.03) + 1^2 * 0.03 = 0.03,
E[y^2] = 0^2 * (1 - 0.045) + 1^2 * 0.045 = 0.045.
Теперь вычислим стандартные отклонения:
σx = sqrt(0.03 - 0.03^2) = sqrt(0.03 - 0.0009) = sqrt(0.0291) ≈ 0.1707,
σy = sqrt(0.045 - 0.045^2) = sqrt(0.045 - 0.002025) = sqrt(0.042975) ≈ 0.2073.
Теперь, используя все найденные значения, мы можем найти коэффициент корреляции:
r = cov(x, y)/(σx * σy) = 0.02865/(0.1707 * 0.2073) ≈ 0.7894.
Таким образом, коэффициент корреляции между дефектами a и b составляет примерно 0.7894.