Question

Вычислить указанные неопределенные интегралы

Answer 1

б)

$\frac{1}{3} \int\limits \frac{3 {x}^{2}dx }{ \sqrt{ {x}^{3} + 3 } } = \frac{1}{3} \int\limits \frac{d( {x}^{3}) }{ \sqrt{ {x}^{3} + 3 } } = \\ = \frac{1}{3} \int\limits {( {x}^{3} + 3)}^{ - \frac{1}{2} } d( {x}^{3} + 3) = \\ = \frac{1}{3} \times \frac{ {( {x}^{3} + 3) }^{ \frac{1}{2} } }{ \frac{1}{2} } + C = \\ = \frac{2}{3} \sqrt{ {x}^{3} + 3} + C$

в)

$\int\limits \: x \cos(3x) dx$

По частям:

$\: U= x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: dU= dx \\ dV= \cos(3x) dx \: \: \: \: V= \frac{1}{3} \int\limits \cos(3x) d(3x) = \\ \: \: \: \: \: \: = \frac{1}{3} \sin(3x)$

$UV - \int\limits \: VdU = \\ = \frac{x}{3} \sin(3x) - \frac{1}{3} \int\limits \sin(3x) dx = \\ = \frac{x}{3} \sin(3x) + \frac{1}{9} \cos(3x) + C$

Answer 2

Для начала, давайте рассмотрим первый интеграл:

∫ (2x^3 - 5x^2 + x + 4) dx

Для вычисления этого интеграла, мы можем использовать правила интегрирования для каждого члена полинома по отдельности.

∫ 2x^3 dx = (2/4)x^4 = (1/2)x^4

∫ -5x^2 dx = (-5/3)x^3

∫ x dx = (1/2)x^2

∫ 4 dx = 4x

Теперь, объединяя результаты интегрирования каждого члена, мы получим:

∫ (2x^3 - 5x^2 + x + 4) dx = (1/2)x^4 - (5/3)x^3 + (1/2)x^2 + 4x + C

где C - произвольная постоянная.

Теперь рассмотрим второй интеграл:

∫ (3x^4 + x^3 - 7x) dx

Опять же, мы будем использовать правила интегрирования для каждого члена по отдельности.

∫ 3x^4 dx = (3/5)x^5

∫ x^3 dx = (1/4)x^4

∫ -7x dx = (-7/2)x^2

Теперь объединяем результаты интегрирования каждого члена:

∫ (3x^4 + x^3 - 7x) dx = (3/5)x^5 + (1/4)x^4 - (7/2)x^2 + C

где C - произвольная постоянная.

Таким образом, ответ для второго интеграла: (3/5)x^5 + (1/4)x^4 - (7/2)x^2 + C.