Question

Найти расстояние между параллельными прямыми: 3х - 2у + 4 = 0 и 3х - 2у + 9 = 0. Написать уравнение прямой, которая находится на одинаковом расстоянии от данных прямых.

Answer 1

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

Даны две параллельные прямые:

$3x-2y+4=0\\3x-2y+9=0$

Рассмотрим, например, второе уравнение прямой:

$3x-2y+9=0\\2y=3x-9\\y=\dfrac{3}{2}x-\dfrac{9}{2}$

Тогда понятно, что уравнение перпендикулярной ей прямой имеет вид:

$y=-\dfrac{2}{3}x+m$, где m - произвольное число.

Для удобства вычислений примем, что $m=2$.

Тогда:

$y=-\dfrac{2}{3}x+2$

Не сложно понять, что эта прямая проходит через точку $(0;\;2)$.

Также и первая прямая $3x-2y+4=0,\;=\;y=\dfrac{3}{2}x+2$ содержит эту точку.

(это сразу видно из уравнений прямых).

Тогда точка пересечения этих прямых $A$ имеет координату $(0;\;2)$.

Решим систему уравнений:

$3x-2y+9=0\\3y+2x-6=0$

Откуда координата точки $B$ будет $\left(-\dfrac{15}{13},\;\dfrac{36}{13}\right)$.

Тогда искомое расстояние равно:

$l=\sqrt{\left(\dfrac{15}{13}-0\right)^2+\left(\dfrac{36}{13}-2\right)^2}=\dfrac{5\sqrt{13}}{13}$

Замечу, что при решении можно было воспользоваться готовой формулой.

Уравнение прямой, которая находится на одинаковом расстоянии от данных прямых имеет вид:

$y=\dfrac{3}{2}x+\dfrac{13}{4}$

Задание выполнено!