Найти алгебраическую и тригонометрическую формы числа z = z1+z2. Изобразить числа z1, z2, z на комплексной плоскости. Вычислить z12 по формуле Муавра. z1=-2 z2=2(cos (пи/3)+isin(пи/3))
Теперь найдем значение |r|:
|r| = √((-2 + 2cos (π/3))^2 + (2sin (π/3))^2)
|r| ≈ √(5.7321 + 1.7321i)
|r| ≈ √(7.4642)
|r| ≈ 2.7321
Теперь найдем аргумент числа z:
θ = arctan(2sin (π/3) / (-2 + 2cos (π/3)))
θ ≈ arctan(1.7321 / (-2 + 2cos (π/3)))
θ ≈ arctan(1.7321 / (-2 + 1))
θ ≈ arctan(1.7321 / -1)
θ ≈ arctan(-1.7321)
θ ≈ -π/3
Таким образом, тригонометрическая форма числа z:
z = 2.7321(cos (-π/3) + isin (-π/3))
Полученные результаты можно изобразить на комплексной плоскости, где действительная часть координаты будет соответствовать Re(z), а мнимая часть - Im(z).
Построим точки на комплексной плоскости:
- точка z1 будет лежать на действительной оси x и иметь координаты (-2, 0)
- точка z2 будет лежать на плоскости в квадранте I и иметь координаты (cos (π/3), sin (π/3))
Нарисуем точки на комплексной плоскости и соединим их линией:
|
|
|
------z1-------z-------
|
|
|
z2
Наконец, чтобы найти значение z^12, применим формулу Муавра:
z^12 = r^12 (cos (12θ) + isin (12θ))
где r^12 - модуль числа z в 12-й степени, θ - аргумент числа z.
Первым шагом мы должны найти алгебраическую форму числа z1 и z2, а затем сложить их и записать результат в алгебраической и тригонометрической форме.
Для начала, найдем алгебраическую форму для z1:
z1 = -2
Затем найдем алгебраическую форму для z2:
z2 = 2(cos (π/3) + isin (π/3))
Теперь проделаем вычисления:
z = z1 + z2
z = -2 + 2(cos (π/3) + isin (π/3))
Теперь разложим z на действительную и мнимую части:
z = (-2 + 2cos (π/3)) + 2isin (π/3)
Алгебраическая форма числа z:
z = -2 + 2cos (π/3) + 2isin (π/3)
Теперь найдем тригонометрическую форму числа z.
Зная алгебраическую форму числа z, мы можем использовать формулу Муавра для вычисления z в тригонометрической форме:
z = r(cosθ + isinθ)
где r - модуль числа z, θ - аргумент числа z.
Модуль числа z может быть найден как:
|r| = √(Re(z)^2 + Im(z)^2)
Аргумент числа z можно вычислить как:
θ = arctan(Im(z) / Re(z))
Вычислим модуль числа z:
|r| = √((-2 + 2cos (π/3))^2 + (2sin (π/3))^2)
Теперь найдем значение |r|:
|r| = √((-2 + 2cos (π/3))^2 + (2sin (π/3))^2)
|r| ≈ √(5.7321 + 1.7321i)
|r| ≈ √(7.4642)
|r| ≈ 2.7321
Теперь найдем аргумент числа z:
θ = arctan(2sin (π/3) / (-2 + 2cos (π/3)))
θ ≈ arctan(1.7321 / (-2 + 2cos (π/3)))
θ ≈ arctan(1.7321 / (-2 + 1))
θ ≈ arctan(1.7321 / -1)
θ ≈ arctan(-1.7321)
θ ≈ -π/3
Таким образом, тригонометрическая форма числа z:
z = 2.7321(cos (-π/3) + isin (-π/3))
Полученные результаты можно изобразить на комплексной плоскости, где действительная часть координаты будет соответствовать Re(z), а мнимая часть - Im(z).
Построим точки на комплексной плоскости:
- точка z1 будет лежать на действительной оси x и иметь координаты (-2, 0)
- точка z2 будет лежать на плоскости в квадранте I и иметь координаты (cos (π/3), sin (π/3))
Нарисуем точки на комплексной плоскости и соединим их линией:
|
|
|
------z1-------z-------
|
|
|
z2
Наконец, чтобы найти значение z^12, применим формулу Муавра:
z^12 = r^12 (cos (12θ) + isin (12θ))
где r^12 - модуль числа z в 12-й степени, θ - аргумент числа z.
Вычислим значение z^12:
z^12 = (2.7321)^12 (cos (12 * (-π/3)) + isin (12 * (-π/3)))
Теперь найдем значение (2.7321)^12:
(2.7321)^12 ≈ 372.99
Итак, значение z^12 будет:
z^12 ≈ 372.99 (cos (-4π) + isin (-4π))
z^12 ≈ 372.99 (1 + i0)
z^12 ≈ 372.99
Espero que esta explicación haya sido clara y útil. Si tienes alguna otra pregunta, no dudes en hacerla.