Question

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанному начальному условию.

Answer 1

$y'- \frac{y}{x} = x \sin(x) \\$

Это линейное ДУ

Замена:

$y = UV$

$y '= U'V + V'U$

$U'V+ V'U - \frac{UV}{x} =x \sin(x) \\ U'V+ U(V- \frac{V}{x} ) = x \sin(x) \\ \\ 1)V- \frac{V}{x} = 0 \\ \frac{dV}{dx} = \frac{V}{x} \\ \int\limits \frac{dV}{V} = \int\limits \frac{dx}{x} \\ ln(V) = ln(x) \\ V = x \\ \\ 2)U'V = x \sin(x) \\ \frac{dU}{dx} \times x = x \sin(x) \\ \int\limits \: dU= \int\limits \sin(x) dx \\ U = - \cos(x) + C \\ \\ y = UV = x(C- \cos(x)) \\ y = Cx - C \cos(x)$

общее решение

$y( \frac{\pi}{2} ) = \frac{\pi}{2} \\$

$\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} C- 0 \\ C= 1 \\ \\ y = x - \cos(x)$

частное решение