Question

Даны координаты вершин треугольника АВС А(-5;7) В(7;-2) С(11;22). Найти 1) длину стороны АВ; 2) уравнение сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты; 3) угол В в радианах с точностью до двух знаков; 4) уравнение высоты CD и ее длину; 5) уравнение медианы АЕ и координаты точки К пересечения этой медианы с высотой СD; 6) уравнение прямой, проходящей через точку К параллельно стороне АВ

Answer 1

.Даны координаты вершин треугольника АВС А(-5;7) В(7;-2) С(11;22).

Найти:

1) длину стороны АВ = √((7-(-5))² + (-2-7)²) = √(144 + 81) = √225 = 15.

2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;

к(АВ) = Δу/Δх = -9/12 = -3/4.

к(ВС) = Δу/Δх = 24/4 = 6.

Уравнение АВ: (х + 5)/12= (у - 7)/(-9) каноническое.

Или с угловым коэффициентом: у = (-3/4)х + С. Для определения С подставим координаты точки А: 7 = (-3/4)*(-5) + С, отсюда С = 7-(15/4) =

= 13/4. Уравнение: у = (-3/4)х + (13/4).

Уравнение ВС: (х - 7)/4= (у + 72)/24 каноническое.

Или с угловым коэффициентом: у = 6х + С. Для определения С подставим координаты точки АВ: -2 = 6*7 + С, отсюда С = -2 - 42 =

= -44. Уравнение: у = 6х - 44.

3) угол В в радианах с точностью до двух знаков;

Он между векторами: ВА(-12; 9), его модуль равен √(144 + 81) = 15.

и ВС(4; 24), его модуль равен √(16 + 576) = √592 = 4√37.

cos B = (-12*4 + 9*24)/(15*4√37) =  0,460317164.  

Угол B = 1,092443895 радиан  или 62,59242456 градусов.

4) уравнение высоты CD и ее длину;

Из пункта 2) находим общее уравнение стороны АВ:

3х + 4у - 13 = 0. Для СD коэффициенты В и А уравнения меняются на -В и А: -4х  + 3у + С = 0. Подставляем координаты точки С:

-4*11 + 3*22 + С = 0, отсюда С = 44 - 66 = - 22.

Уравнение СД: -4х + 3у - 22 = 0 или 4х - 3у + 22 = 0.

5) уравнение медианы АЕ и координаты точки К пересечения этой медианы с высотой СD;

Точка Е = (В+С)/2 = (9; 10). Вектор АЕ = (9+5; 10-7) = (14; 3).

Уравнение АЕ: (х + 5)/14 = (у - 7)/3 или в общем виде 3х - 14у + 113 = 0.

Точка пересечения с СД находится решением системы:

{4х - 3у + 22 = 0, | x(-3) = -12x + 9y - 66 = 0

{3х - 14у + 113 = 0 | x(4) = 12x - 56y + 452 = 0

                                                -47y + 386 = 0,    y = -386/(-47) = 8,2128.

x = (14y - 113)/3 = 31/47 = 0,6596.

6) уравнение прямой, проходящей через точку К параллельно стороне АВ.

Угловой коэффициент этой прямой равен коэффициенту АВ.

Уравнение КР: у = (-3/4) + в, для определения в подставим координаты точки К: 8,9767 = (-3/4)*1,2326 + в, отсюда в = 9,90116.

Уравнение КР: у = (-3/4)х + 9,90116.