Question

Докажите, что уравнение х^2+y^2+z^2-8x-6y=6 является уравнением сферы. Найдите центр и радиус сферы.

Answer 1

Хорошо, давайте решим данный математический вопрос шаг за шагом, чтобы он был понятен школьнику.

Перед тем, как начать, давайте разберемся с общей идеей уравнения сферы. Уравнение сферы имеет следующий вид:
(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2,
где (a, b, c) - координаты центра сферы, а r - радиус сферы.

Теперь приступим к доказательству того, что уравнение х^2+y^2+z^2-8x-6y=6 является уравнением сферы.

1. Приведение уравнения к каноническому виду:
Приравняем наше уравнение к нулю:
x^2 - 8x + y^2 - 6y + z^2 = 0.

Разделим каждый член на 2, чтобы завершить квадратное выражение для x и y:
x^2 - 8x + 16 + y^2 - 6y + 9 + z^2 = 25.

Теперь добавим константы в каждую скобку:
(x - 4)^2 + (y - 3)^2 + z^2 = 25.

2. Результаты:
Мы получили уравнение в каноническом виде: (x - 4)^2 + (y - 3)^2 + z^2 = 25.

3. Центр и радиус сферы:
Анализируя уравнение, мы видим, что (4, 3, 0) - координаты центра сферы, так как они соответствуют значениям a, b и c в общем уравнении сферы.

Для определения радиуса сферы возведем в квадрат равенство:
(x - 4)^2 + (y - 3)^2 + z^2 = 25.

Получаем: r^2 = 25, что означает, что радиус сферы равен r = 5.

Итак, мы доказали, что уравнение х^2+y^2+z^2-8x-6y=6 является уравнением сферы с центром в точке (4, 3, 0) и радиусом 5.