1. Примените метод Монте-Карло для подсчёта площади: а) круга с центром в точке O(-3;2) и радиусом R=2;
б) фигуры, ограниченной линиями y=-x
2+3 и y=-6;
в) фигуры, ограниченной линиями y=-5/x, y=4-x и x=1.
2. Площадь тех же фигур получите теоретически и сравните с
результатами применения метода Монте-Карло.
1. a) Для подсчета площади круга с центром в точке O(-3;2) и радиусом R=2, мы будем случайным образом генерировать точки внутри квадрата со стороной 2R и центром в точке O. Затем мы будем проверять, попадает ли каждая сгенерированная точка внутрь круга, используя формулу окружности (x - a)^2 + (y - b)^2 <= R^2, где (a,b) - координаты центра окружности, R - радиус.
Шаги:
1) Сгенерируйте случайную точку внутри квадрата со стороной 2R и центром в точке O. Для этого выберите случайное значение x из интервала [-3-R; -3+R] и случайное значение y из интервала [2-R; 2+R].
2) Проверьте, попадает ли сгенерированная точка внутрь круга, используя формулу окружности. Если да, то считаем эту точку попавшей внутрь круга.
3) Повторите шаги 1) и 2) много раз (например, 10000 раз).
4) Подсчитайте отношение количества точек, попавших внутрь круга, к общему количеству сгенерированных точек. Умножьте это отношение на площадь квадрата (4R^2) и получите приблизительную площадь круга.
b) Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=-x+2 и y=-6, мы можем использовать метод Монте-Карло, аналогичный тому, что был описан выше. В этом случае, мы будем случайным образом генерировать точки внутри прямоугольника, ограниченного левой границей x=-6, правой границей x=2 и верхней границей y=2.
Шаги:
1) Сгенерируйте случайную точку внутри прямоугольника, ограниченного линиями x=-6, x=2 и y=-6, y=2. Для этого выберите случайное значение x из интервала [-6; 2] и случайное значение y из интервала [-6; 2].
2) Проверьте, попадает ли сгенерированная точка внутрь фигуры, используя уравнения прямых y=-x+2 и y=-6. Если да, то считаем эту точку попавшей внутрь фигуры.
3) Повторите шаги 1) и 2) много раз (например, 10000 раз).
4) Подсчитайте отношение количества точек, попавших внутрь фигуры, к общему количеству сгенерированных точек. Умножьте это отношение на площадь прямоугольника (8) и получите приблизительную площадь фигуры.
в) Для фигуры, ограниченной линиями y=-5/x, y=4-x и x=1, мы можем использовать аналогичный метод Монте-Карло.
Шаги:
1) Сгенерируйте случайную точку внутри прямоугольника, ограниченного линиями y=-5/x, y=4-x и x=1. Для этого выберите случайное значение x из интервала [1; 4] и случайное значение y из интервала [-5/x; 4-x].
2) Проверьте, попадает ли сгенерированная точка внутрь фигуры, используя уравнения линий y=-5/x, y=4-x и x=1. Если да, то считаем эту точку попавшей внутрь фигуры.
3) Повторите шаги 1) и 2) много раз (например, 10000 раз).
4) Подсчитайте отношение количества точек, попавших внутрь фигуры, к общему количеству сгенерированных точек. Умножьте это отношение на площадь прямоугольника (3) и получите приблизительную площадь фигуры.
2. Теперь давайте найдем площадь каждой фигуры теоретически и сравним ее с результатами метода Монте-Карло.
a) Площадь круга можно вычислить, используя формулу S = πR^2, где R - радиус окружности. В данном случае R=2, поэтому площадь круга равна S = π * 2^2 = 4π.
b) Площадь фигуры, ограниченной линиями y=-x+2 и y=-6, можно найти, вычислив площадь треугольника, ограниченного этими линиями и прямой y=2. Площадь треугольника можно найти, используя формулу S = 1/2 * основание * высота. Основание треугольника - это расстояние между точками пересечения линий y=-x+2 и y=2 (видно из графика) = 4. Высота треугольника - это расстояние между прямой y=2 и прямой y=-6 (тоже видно из графика) = 8. Площадь треугольника равна S = 1/2 * 4 * 8 = 16.
в) Площадь фигуры, ограниченной линиями y=-5/x, y=4-x и x=1, можно найти, разбивая ее на два треугольника и прямоугольник. Площадь первого треугольника можно вычислить, используя формулу S = 1/2 * основание * высота. Основание первого треугольника - это расстояние между точками пересечения линий y=-5/x и y=4-x (видно из графика) = 3. Высота первого треугольника - это расстояние между прямой y=4-x и x=1 (тоже видно из графика) = 3. Площадь первого треугольника равна S1 = 1/2 * 3 * 3 = 4. Площадь второго треугольника можно вычислить аналогично и получаем S2 = 1/2 * 3 * 6 = 9. Площадь прямоугольника равна 3 * 6 = 18. Итак, площадь фигуры равна S = S1 + S2 + S3 = 4 + 9 + 18 = 31.
Теперь сравним найденные значения площадей с результатами применения метода Монте-Карло. Если результаты близки, то можно сделать вывод, что метод Монте-Карло дает хорошую приближенную площадь фигур.