Question

Не дайте завалить на первом курсе

Answer 1

Пошаговое объяснение:

производные

а)

$\displaystyle y'= \bigg(ln^2(x-8) \bigg )'= 2ln(x-8)*(ln(x-8))'(x-8)'=\frac{2ln(x-8)}{x-8}$

б) здесь делаю вставку на производную от константы в степени f(x)

$\displaystyle y'=\bigg ((x^3+4)*2^{(x^2-1)}\bigg )=\left[\begin{array}{ccc}(a^{f(x)})' = a^{f(x)}*ln(a)*f(x)'\\\\\end{array}\right] =$

$\displaystyle =(x^3+4)'*2^{(x^2+1)}+(x^3+4)\bigg (2^{(x^2+1)} \bigg )'=$

$\displaystyle =3x^2*2^{(x^2+1)}+ (x^3+4)*2^{(x^2+1)}*ln2*2x$

неопределенный интеграл

$\displaystyle \int {\frac{lnx}{x^2} } \, dx =\left[\begin{array}{ccc}\displaystyle \int f*dg=fg-\int g*df\\ \displaystyle f=lnx;\quad df=\frac{1}{x} dx \hfill \\ \displaystyle dg=\frac{1}{x}dx;\quad g=-\frac{1}{x} \hfill \end{array}\right] =-\frac{lnx}{x} -\int {(-\frac{1}{x}*\frac{1}{x} }) \, dx =$

$\displaystyle -\frac{lnx}{x} +\int {\frac{1}{x^2} } \, dx =-\frac{lnx}{x} -\frac{1}{x} +C=-\frac{lnx+1}{x} +C$

определенный интеграл

здесь при замене переменных поменяются пределы интегрирования

$\displaystyle \int\limits^2_1 {\frac{1}{\sqrt{5x-1} } } \, dx =\left[\begin{array}{ccc}u=5x-1; \quad du = 5dx\\u_{low}=5*1-1=4 \hfill\\u_{up}=5*2-1=9 \hfill\end{array}\right] =$

$\displaystyle =\frac{1}{5} \int\limits^9_4 {\frac{1}{\sqrt{u} } } \, du=\frac{2\sqrt{u} }{5} \bigg \vert ^9_4=\frac{2\sqrt{9} }{5} -\frac{2\sqrt{4} }{5} =\frac{2*3-2*2}{5} =\frac{2}{5}$