Простого решения, тем более геометрического (пока?) предложить не могу; довольствуюсь тем, что есть.
Запишем каноническое уравнение параболы ы виде y=ax² (т.е. поместим вершину параболы в начало координат и направим ось y вдоль оси симметрии).
Пусть точки A, B, C имеют абсциссы x1, x2, x3 и ординаты соответственно ax1², ax2², ax3².
a) Запишем уравнение нормали к параболе на примере точки A. Производная (и, соответственно, угловой коэффициент касательной) равны 2ax1, соответственно, угловой коэффициент нормали равен (−1)/(2ax1); уравнение нормали имеет вид
2ax1(y−ax1²) + (x−x1) = 0
Аналогичные уравнения получаются для нормалей в точках B и C. Найдём, например, точки пересечения нормалей в точках A и B:
{ 2ax1(y−ax1²) + (x−x1) = 0,
{ 2ax2(y−ax2²) + (x−x2) = 0.
На самом деле, нам достаточно найти одну из координат — например, y (x однозначно выразится через y, т. к. хотя бы одна из прямых не параллельна оси y).
Вычитая из первого уравнения второе, после преобразований с учётом x1≠x2 получим:
y = 2(x1²+x1•x2+x2²) + 1/(2a)
Для того чтобы все три нормали пересекались в одной точке, необходимо и достаточно, чтобы ординаты точек пересечения нормалей (A и B) и (B и С) совпадали.
Записываем соответствующее уравнение:
2(x1² + x1²•x2 + x²) + 1/(2a) = 2(x2² + x2•x3 + x3²) + 1/(2a);
(x1−x3)(x1+x2+x3) = 0
Поскольку x1≠x3, то получаем окончательное условие перечения всех трёх нормалей в одной точке:
(1) x1 + x2 + x3 = 0
b) теперь запишем условие того, что точка пересечения медиан треугольника ABC лежит на оси симметрии (она же — ось ординат x=0).
Нас интересует только абсцисса точки пересечения медиан.
Середина A1 стороны BC имеет абсциссу (x2+x3)/2.
Как известно, медиана AA1 делится точкой пересечения медиан в отношении 2:1, считая от вершины. Поэтому точка перечения медиан имеет абсциссу
x1 + (2/3)•((x2+x3)/2−x1) = (x1 + x2 + x3)/3
Таким образом, точка перечения медиан лежит на оси ординат тогда и только тогда, когда выполняется условие
(2) x1 + x2 + x3 = 0
Знаменатель: 6 * 8 * 3 = 2 * 3 * 2 * 4 * 3 = 2 * 3 * 2 * 2 * 2 * 3.
То есть получим следующее выражение:
(2 * 9 * 12) / (6 * 8 * 3) = (2 * 3 * 3 * 2 * 2 * 3) / (2 * 3 * 2 * 2 * 2 * 3).
Произведем сокращение одинаковых чисел в числителе и знаменателе. (2 * 3 * 3 * 2 * 2) - эта скобка общие сокращаемые числа.
Числитель: (2 * 3 * 3 * 2 * 2 * 3) / (2 * 3 * 3 * 2 * 2) = 3.
Знаменатель: (2 * 3 * 2 * 2 * 2 * 3) / (2 * 3 * 3 * 2 * 2) = 2.
Следовательно, выражение (2 * 9 * 12) / (6 * 8 * 3) после сокращений станет равным 3/2.
6 * 25 / 35 * 8 = (3 * 2 * 5 * 5) / (5 * 7 * 2 * 2 * 2) = (3 * 5) / (7 * 2 * 2) = 15/28.
9 * 5 + 9 * 3 / 2 * 81 = 9 * 5 + (3 * 3 * 3) / (2 * 3 * 3 * 3 * 3) = 9 * 5 + 1/6 = 45 + 1/6 = 270/6 + 1/6 = 271/6.
ответ: (2 * 9 * 12) / (6 * 8 * 3) = 3/2; 6 * 25 / 35 * 8 = 15/28; 9 * 5 + 9 * 3 / 2 * 81 = 271/6.