Question

6)В треугольной пирамиде ABCD известно, что AB = 2, BC = 3, BD = 4, AD = 2/5, CD = 5. Докажите, что прямая BD перпендикулярна
плоскости ABC.

Answer 1

Хорошо, давайте решим эту задачу.

Для начала, давайте определим, что значит "прямая BD перпендикулярна плоскости ABC". Это означает, что отрезок BD образует прямой угол со всеми отрезками, лежащими в плоскости ABC.

Докажем это:

1) Построим пирамиду ABCD на координатной плоскости. Пусть точка A будет лежать в начале координат (0,0,0), а точки B, C и D будут иметь координаты (2,0,0), (0,3,0) и (0,0,5) соответственно.

2) Так как AB = 2, то точка B будет находиться на расстоянии 2 по оси x от начала координат.

3) Точка A лежит в начале координат, поэтому прямая AB будет лежать на плоскости xOy.

4) Будем строить плоскость ABC. Для этого построим прямую BC и найдем векторное произведение векторов AB и BC, чтобы найти нормаль к этой плоскости. Векторное произведение AB x BC = [2,0,0] x [0,3,0] = [0,0,6]. Обратите внимание, что координата z ненулевая, что означает, что плоскость ABC не параллельна плоскости xOy.

5) Так как AB перпендикулярна сегменту BC и прямая AB лежит на плоскости xOy, то прямая BC тоже будет перпендикулярна плоскости ABC.

6) Прямая BD будет прямой, проходящей через точки B и D, поэтому для доказательства того, что BD перпендикулярна плоскости ABC, нам нужно показать, что прямая BD перпендикулярна к каждому сегменту в плоскости ABC.

7) Векторное произведение AB x BC = [0,0,6], а векторное произведение BD x BC = [2,3,0].

8) Обратите внимание, что координата z в векторе BD x BC равна нулю, что означает, что сегмент BD лежит в плоскости ABC.

Итак, мы получили, что прямая BD перпендикулярна плоскости ABC.

Надеюсь, это решение понятно и обстоятельно объясняет, почему прямая BD перпендикулярна плоскости ABC.