Question

1) integral от 0 до п/4 (arctg^2(x)/1+x^2)dx 2)integral от 0 до sqrt(2) (x^3/sqrt(9-x^4))dx 3)integral от e до e^2 dx/x*sqrt(4-ln^2(x)) 4)integral от sqrt(3) до + бесконечности xdx/x^4+9 5)integral от 1 до (2 x+5/x^2-2x-3)dx 6)integral dx/sqrt(x)-sqrt(4,x)

Answer 1

1. Заменяем переменную. sqrt(x) = t, x = t^2, dx = 2t dt 
Int (e^sqrt(x)) dx = 2*Int (t*e^t) dt. 
По частям. u = t, dv = e^t dt, du = dt, v = e^t 
2Int (t*e^t) dt = uv - Int v du = 2*(t*e^t - Int e^t dt) = 2*t*e^t - 2*e^t + C = 2*e^t*(t - 1) +C 
2. По частям. u = ln(3+x^2), dv = dx, du = 2x / (3+x^2), v = x 
Int ln(3+x^2) dx = uv - Int v du = x*ln(3+x^2) - Int 2x^2 / (3+x^2) dx = x*ln(3+x^2) - 2*Int (3+x^2-3) / (3+x^2) dx = 
= x*ln(3+x^2) - 2*Int (1 - 3/(3+x^2)) dx = x*ln(3+x^2) - 2x + 6/sqrt(3)*arctg (x/sqrt(3)) + C = 
= x*ln(3+x^2) - 2x + 2*sqrt(3)*arctg (x/sqrt(3)) + C