Question

Для функции f(x)=(2x+6)/(x^2-5) найдите точки x=а локального минимума

Answer 1

$y=\frac{2x+6}{x^2-5} \\\ D(y)=(-\infty; -\sqrt5) \cup (-\sqrt5; \sqrt5) \cup (\sqrt5;+\infty).\\\ y'=\frac{2(x^2-5)-2x(2x+6)}{(x^2-5)^2}=\frac{2x^2-10-4x^2-12x}{(x-\sqrt5)^2(x+\sqrt5)^2}= \frac{-2x^2-22x}{(x-\sqrt5)^2(x+\sqrt5)^2}=\\\ =\frac{-2x(x+11)}{(x-\sqrt5)^2(x+\sqrt5)^2}\\\ y'=0,\ \ \ -2x(x+11)=0\\\ x=-11, x=0$

    -         +         +         -           - 

-------|--------o--------|-------o-------->

     -11      -√5         0        √5

В окрестности точки х=-11 производная меняет знак с - на +, значит, х=-11 - точка локального минимума.

В окрестности точки х=0 производная меняет знак с + на -, значит, х=0 - точка локального максимума.

ответ: х=-11-точка локального минимума.

Answer 2

f(x)=(2x+6)/(X^2-5)

Найдем производную

y'=  (2(x^2-5)-(2x+6)*2x)/(x^2-5)^2 = (2x^2-10-4x^2-12x)/(x^2-5)^2 =

=(-2x^2-12x-10)/(x^2-5)^2 =-2(x^2+6x+5)/(x^2-5)^2

Находим экстремумы функции

x^2+6x+5 =0

D =36-20 =16

x1=(-6-4)/2=-5   x2=(-6+4)/2 =-1

Учтем что x^2-5 не равно 0 

x3 не равно - корень(5)

x4 не равно корень(5)

В точках x3 и x4 прозводная знак не меняет

На числовой прямой найдем знаки производной

  -    0    +   0    -

!!

      -5         -1

 Видно что локальный минимум находится в точке х = -5

Значение функции равно

у(-5) = (2*(-5)+6)/((-5)^2-5)=(-10+6)/(25-5) = -4/20 =-1/5 =-0,2

 ответ точка локального минимума в x=-5