Пусть стороны тр-ка соответствуют векторам АВ и ВС, основание треугольника - вектору АС, а средняя линия, параллельная АС, - вектору ДЕ.
Рассмотрим треугольник ДВЕ при вершине, отсекаемый средней линией ДЕ.
Запишем векторное равенство: ДВ + ВЕ = ДЕ.
Для трапеции АДЕС также запишем векторное равенство: АД + ДЕ + ЕС = АС
Поскольку имеет место векторное равенство ДВ = АД и ВЕ = ЕС, поскольку соответствующие векторы расположены на одной прямой и одинаково направлены, то в равенстве АД + ДЕ + ЕС = АС можно заменить АД на ДВ и ЕС на ВЕ, получим
ДВ + ДЕ + ВЕ = АС.
Но ДВ + ВЕ = ДЕ (см. выше), тогда
ДЕ +ДЕ = АС
или
2ДЕ = АС
или
ДЕ = АС/2, что и требовалось доказать.
Расстояние от центра окружности О до хорды обозначим ОР. ОР = 4см.
Поскольку касательная СД //(параллельна) хорде, то радиус ОД, перпендикулярный к касательной СД, будет содержать отрезок ОР.
Прямоугольные тр-ки ОСД и ОВР подобны, т.к уг. ОСД = уг.ОВР как воответственные при параллельных СД и ВР и секущей ОС.
Тогда для сторон подобных тр-ков имеет место пропорция:
ОД:ОР = ОС:ОВ
Поскольку ОВ = ОД = R = 10см, а ОР = 4, то
ОС = ОД·ОВ:ОР = 10·10:4 = 25см
АО = R = 10см, и
АС = АО + ОС = 10 + 25 = 35см
ответ: АС = 35см