Question

Доказать, что число ( \sqrt{3}+1)^{10} можно представить в виде \sqrt{m+1024}+\sqrt{m}

Answer 1

Если представить  ввиде 
$\sqrt{m+1024}+\sqrt{m}\\ (\sqrt{3}+1)^{10}\\ \sqrt{m+1024}+\sqrt{m}=(\sqrt{3}+1)^{10}\\ \sqrt{m+1024}+\sqrt{m}=((\sqrt{3}+1)^2)^5\\ \sqrt{m+1024}+\sqrt{m}=(4+2\sqrt{3})^5\\ po\ binomu \ Newtona\\ (a+b)^5=a^5+5ab^4+10a^2*b^3+10a^3*b^2+5a^4*b+b^5\\ \sqrt{m+1024}+\sqrt{m}=4^5+5*4*(2\sqrt{3})^4+10*4^2*(2\sqrt{3})^3+10*4^3*(2\sqrt{3})^2+5*4^4* (2\sqrt{3})+(2\sqrt{3})^5\\ \\ summiraya \ polu4aem \ m=134188032\\$

То есть число $(\sqrt{3}+1)^{10}$ , можно представить ввиде 
$\sqrt{134188032+1024}+\sqrt{134188032}$

Answer 2

Решим задачу, не находя числа m, исходя из условия получаем:
$(\sqrt{3}+1)^{10}=\sqrt{m+1024}+\sqrt{m}\\(\sqrt{3}+1)^{20}=m+1024+2\sqrt{m(m+1024)}+m\\(\sqrt{3}+1)^{20}-2m-1024=2\sqrt{m(m+1024)}\\(\sqrt{3}+1)^{40}-2(2m+1024)(\sqrt{3}+1)^{20}+(2m+1024)^2=2m(m+1024)\\(\sqrt{3}+1)^{40}-2(2m+1024)(\sqrt{3}+1)^{20}+4m^2+4096m+1024^2-\\-2m^2-2048m=0\\(\sqrt{3}+1)^{40}-2(2m+1024)(\sqrt{3}+1)^{20}+2m^2+2048m+1024^2=0\\2m+1024=t\\(\sqrt{3}+1)^{40}-2t(\sqrt{3}+1)^{20}+\cfrac{1024-t}{2}\cdot t+1024^2=0\\(\sqrt{3}+1)^{40}-2t(\sqrt{3}+1)^{20}+512t-\cfrac{t^2}{2}+1024^2=0\\$
$(\sqrt{3}+1)^{40}-2t(\sqrt{3}+1)^{20}+512t-\cfrac{t^2}{2}+1024^2=0\\-\cfrac{t^2}{2}-t(2(\sqrt{3}+1)^{20}-512)+1024^2+(\sqrt{3}+1)^{40}=0\\t^2+(4(\sqrt{3}+1)^{20}-1024)-2(1024^2+(\sqrt{3}+1)^{40})=0$
Так как у данного уравнения дискриминант положительный, ввиду того что, c<0, b>0,a>0, то заданное разложение возможно.
Что и требовалось доказать