Question

Найдите сумму целых решений неравенства:

Answer 1

x^2-2x-8<=0

x1=4

x2=-2

[-2;4]

находим сумму -2+(-1)+1+2+3+4=7

Answer 2

В оставленном ранее решении был предложен функциональный решения неравенства. Я думаю, Вам будет полезно узнать о ещё двух подходах к решению задания.

1)Во-первых, неравенсто $0{,}1x^2-0{,}2x-0{,}8\leq0$ для удобства преобразуем в $x^2-2x-8\leq0$, домножив обе части на 10. Чем удобно такое неравенство? В нём  старший коэффициент квадратного трёхчлена равен 1 , а второй - чётный, это облегчит вычисления при решении квадратного уравнения с эти тр.-ном, которое необходимо выполнить. Решим неравенство методом интервалов: для этого разложим квадратный трёхчлен по формуле $x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ - корни данного трёхчлена: решим уравнение - $x^2-2x-8=0;\\ \frac{D}{4}=k^2-q=(-1)^2-(-8)=1+8=9;\\ \frac{D}{4}0\Rightarrow D0\Rightarrow x_{1,2}=-k\pm \sqrt{k^2-q}=-(-1)\pm \sqrt9=1\pm 3.$.

Значит, $x^2-2x-8=(x-4)(x+2)$.

Перепишем неравенство в виде $(x-4)(x+2)\leq0$.

Произведём оценку знака произведения:

если x<-2, то x+2 отрицательно, но x-4 - отрицательно, значит и их произведение оположительно;

если -2<x<4, то первое положительно, а второе отрицательно, значит и их произведение отрицательно;

если x>4, то как первое, так и второе положительны, потому и их произведение тоже.

Итак, решение данного неравенства является область $[-2;4]$.

Участник Гоша68 уже сосчитал колчество целых решений в этом множестве: -2+(-1)+0+1+2+3+4=7.

2)Используя правило расщепления, согласно которому неравенство $(x-4)(x+2)\leq0$ равносильно совокупности систем неравенств

$\left \{ {{x-4\leq0} \atop {x+2\geq0}} \right\ and\ \left \{ {{x-4\geq0} \atop {x+2\leq0}} \right.$.

Решим оба из них и совместим полученные множества решений:

$\left \{ {{x-4\leq0} \atop {x+2\geq0}} \right and \left \{ {{x-4\geq0} \atop {x+2\leq0}} \right \\ \left \{ {{x\leq4} \atop {x\geq-2}} \right and \left \{ {{x\geq4} \atop {x\leq-2}} \right\\ -2\leq x\leq 4$.