Question

Вычислить площади фигур ограниченных кривыми. 3 задания

Answer 1

Пошаговое объяснение:

1) рисуем графики и находим пределы интегрирования по х  0<x<1

при замене переменных поменяются и пределы интегрирования

$\displaystyle S=\int\limits^1_0 {\frac{x}{(x^2+1)^2} } \, dx =\left[\begin{array}{ccc}u=x^2+1\hfill\\du=2xdx\hfill\\u_1=1\quad u_2=2\end{array}\right] =\frac{1}{2} \int\limits^2_1 {\frac{1}{u^2} } \, du =-\frac{1}{2u} \bigg |_1^2=\frac{1}{4}$

2) это уравнение эллипса  с полуосями 9 и 4

$\displaystyle \frac{x^2}{9^2} +\frac{y^2}{4^2} =1$

рисуем график и находим нужную область

теперь находим пределы интегрирования

у = 2   4sint = 2   sint = 0.5   t = π/6

y= 4    4sint = 4    sint = 1       t =π/2

здесь заметим, что параметрические уравнения «прорисовывают» дугу эллипса «в противоход» оси х , а площадь фигуры считается слева направо. поэтому  нижнему пределу интегрирования соответствует значение π/2, а верхнему пределу – значение π/6

поэтому мы для вычисления интеграла поменяем знак интеграла на - и пределы "перевернем"

это будет половина нужной нам области

по формуле площадей фигур для функции заданной параметрически

$\displaystyle S_1=-\int\limits^{\pi /2}_{\pi /6} {4sint*(9cost)'} \, dt=36\int\limits^{\pi /2}_{\pi /6} {sin^2t} \, dt=36 \int\limits^{\pi /2}_{\pi /6} {(\frac{1}{2}-\frac{1}{2} cos2t) } \, dt=$

дальше несложная замена переменных u=2t   du=2dt  с заменой пределов интегрирования u₁=π/3 u₂= π получим

$\displaystyle=-9\int\limits^\pi _{\pi /3} {cosu} \, du++18\int\limits^{\pi /2}_{\pi /6} {} \, dt=-9sinu \bigg|_{\pi /3}^\pi +18t \bigg|_{\pi /6}^{\pi /2}=\frac{9\sqrt{3} }{2} +6\pi$

и теперь умножим S₁ на 2 и получим искомую площадь

$S=9\sqrt{3} +12\pi$

3)

это уравнение "полярной розы" с 12 лепестками

период sin6Ф

6(Ф+T) = 6Ф +6T   6Ф+6T=6Ф+2π

T= 2π/6 = π/3

тогда у нашей розы 6 одинаковых секторов (в каждом по 2 одинаковых лепестка)

сектор одного лепестка от 0 до π/6

по формуле площади криволинейного сектора рассчитем площадь одного лепестка и умножим ее  на 12

$\displaystyle S_c=\int\limits^{\pi /3}_0 {sin^26\phi} \, d\phi=\left[\begin{array}{ccc}u=6\phi\\du=6d\phi\\u_1=0 \quad u_2=\pi \end{array}\right] =\frac{1}{12}\int\limits^\pi _0 {sin^2u} \, du =$

после несложных замен переменных и пределов интегрирования (s=2u ds=2du   s₁ =0    s₂=2π) получим

$\displaystyle =-\frac{1}{48} \int\limits^{2\pi }_0 {cos(s)} \, ds +\frac{1}{24}\int\limits^\pi _0 {} \, du=-\frac{sins}{48} \bigg |_0^{2\pi }+\frac{u}{24} \bigg |_0^{\pi }=\frac{\pi }{24}$

и полная площадь

$\displaystyle S= S_c*12 = \frac{\pi }{2}$