Question

Xy'-4y-x^2*sqrt(y)=0, нужно решить с уравнения Бернулли, не получается привести к виду : у = (х^4)/4*(ln^2(Cx) ) - это ответ у меня получилось у = х^4(С+1/2lnx)^2

Answer 1

$xy'- 4y - {x}^{2} \sqrt{y} = 0 \\ xy' - 4y = {x}^{2} \sqrt{y} \: \: \: | \div {x} \\ y' - \frac{4y}{x} = x \sqrt{y} \: \: \: | \div \sqrt{y} \\ \frac{ y'}{ \sqrt{y} } - \frac{4 \sqrt{y} }{x } = x \\ \\ \text{Замена:}\\ \sqrt{y} = t \\ t' = \frac{1}{2} {y}^{ - \frac{1}{2} } \times y'= \frac{y'}{2 \sqrt{y} } \\ \frac{y'}{ \sqrt{y} } = 2t' \\ \\ 2t' - \frac{4t}{x} = x \\ t' - \frac{2t}{x} = \frac{x}{2} \\ \\ \text{Замена:}\\ t = UV \\t' = U'V + V'U \\ \\ U'V + V'U - \frac{2UV}{x} = \frac{x}{2} \\ U'V + U(V'- \frac{2V}{x} ) = \frac{x}{2} \\ \\ 1)V' - \frac{2v}{x} = 0 \\ \frac{dV}{dx} = \frac{2V}{x} \\ \int\limits \frac{dV}{V} = 2\int\limits \frac{dx}{x} \\ ln(V) = 2ln(x) \\ v = {x}^{2} \\ \\ 2) U'V = \frac{x}{2} \\ \frac{du}{dx} \times {x}^{2} = \frac{x}{2} \\ \int\limits \: dU = \int\limits\frac{1}{2x} dx \\ U= \frac{1}{2} ln |x| + C \\ \\ U= \frac{1}{2} ln |x| + \frac{1}{2} ln|C| = \\ = \frac{1}{2} ( ln |x| + ln |C| ) = \\ = \frac{1}{2} ln |Cx| \\ \\ t = UV = {x}^{2} \times \frac{ln |Cx| }{2} \\ \sqrt{y} = \frac{ {x}^{2} }{2} ln |Cx| \\ y = \frac{ {x}^{4} }{4} {ln}^{2} |Cx|$

Константу можно представить в любом удобном нам виде, поэтому я записала как 1/2ln(C), чтобы потом занести ее в логарифм.