Question

Вычислите длину дуги x=$2cos^{3}t$, y=$2sin^{3}t$

Answer 1

Пошаговое объяснение:

это астроида.

для длины дуги астроиды есть формула

дуга     $\displaystyle \left \{ {{x=acos^3t} \atop {y=asin^3t}} \right.$

длина дуги  L = 6*a

в нашем случае L = 6*2 = 12

однако, проверим.

длина дуги

$\displaystyle L = \int \limits_0^{2\pi }\sqrt{(x'_t)^2+(y'_t)^2 }dt$

$\dispplaystyle x'_t = 6cos^2t*(-sint)$

$\dispplaystyle y'_t = 6sin^2t*cost$

(x')² +(y')² = 36cos⁴t*sin²t +36cos²t*sin⁴t = 36cos²t*sin²t(cos²t+sin²t)=  =36cos²t*sin²t

астроида симметрична  относительно координатных осей, причём текущая точка обегает кривую один раз, когда параметр t∈ [0; π/2]

поэтому можем найти 1/4 дуги и умножить на 4

и тогда имеем

$\displaystyle \frac{1}{4} L=\int\limits_0^{\pi /2} {\sqrt{36sin^2t*cos^2t} } \, dt =6\int\limits_0^{\pi /2} {sint*cost} } \, dt =6*\frac{1}{2} \int\limits_0^{\pi /2} {sin2t} } \, dt=$

=$\displaystyle =\frac{6}{2*2} (-cos2t)\bigg |_0^{\pi /2}=\frac{6}{4} (1+1)=3$

и тогда L=9*4 = 12

что и требовалось доказать.