Question

  1.     На рисунке даны три ребра треугольника 3 см, 7 см, 9 см. Найдите площадь раскрашенной части. ​

Answer 1

$S=a^2$

Площадь наименьшего квадрата - $3\cdot3=9\ cm^2$

Среднего - $7\cdot7=49\ cm^2$

Большего - $9\cdot9=81\ cm^2$

Диагональ меньшего квадрата обозначим за d, по формуле

$d=a\sqrt2$

Где а - сторона, находим диагональ

$d=3\sqrt2$

Первая часть "полосы" пересекает оба квадрата, поэтому обозначим её за S₁ ;

Во втором квадрате, в левом верхнем углу, можем заметить треугольник, в приложении он обозначен как KLM. Найти его гипотенузу не составит трудностей: сторона LM = 7 - 3 = 4 см; KL = 4 см, следовательно, гипотенуза (KM) равна $\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt2$

По упомянутому выше факту, мы видим, что "полоса" пересекает оба квадрата, значит стороны можно сложить

$3\sqrt2+4\sqrt2=7\sqrt2$

Нам известно две стороны параллелограмма (DM = AB), чтобы найти его площадь, нужно перемножить эти две стороны между собой и произведение умножить на синус угла между ними; так как в квадрате все углы по 90°, AB - диагональ, а значит, биссектриса, то угол между сторонами равен 45°. Значит,

$S_1=7\sqrt2\cdot3\cdot \sin45^\circ=7\sqrt2\cdot3\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=21\ cm^2$

Площадь второй части "полосы" обозначим за S₂;

Рассмотрим треугольник ABC:

AC = 7 + 9 = 16 см

BH - высота, = 7 см

$S_{ABC} =\dfrac12\cdot7\cdot16=56\ cm^2$

Так как ΔABH занимает ровно половину второго квадрата, то его площадь равна

$\dfrac{49}2=24.5\ cm^2$

Тогда, ΔBHC = 56 - 24,5 = 31,5 см²

Рассмотрим треугольники EFG и BHC:

EF = HC (по усл.)

BH = FG (9 - 2 = 7 см)

⇒ ΔEFG = ΔBHC по 2 катетам

Из этого следует, что ΔEFG = ΔBHC = 31,5 см²

Вспоминаем, что в начале нашли площадь самого большого квадрата - 81 см²;

А значит,

$S_2=81-S_{EFG}-S_{BHC}=81-31.5-31.5=18\ cm^2$

Итоговая площадь всей закрашенной части -

$S_1+S_2=21+18=39\ cm^2$

ответ: 39 см²