Question

Знайти довжину дуги r=1-cos fi , r= 1

Answer 1

Пошаговое объяснение:

сначала нарисуем график и определим из чего состоит наша дуга

1/2 окружности r=1

2 дуги кардиоиды от 0 до π/2 r=1-cosФ

формула для расчета дуги в полярных координатах

$\displaystyle L=\int\limits^a_b {\sqrt{r'_{\phi} ^2+r^2(\phi)} \, dx$

1/2 окружности r=1

$\displaystyle L_1=\int\limits^\pi _0 {} \, d\phi=\phi\bigg |_0^\pi = \pi$

2 дуги кардиоиды от 0 до π/2 r=1-cosФ

$\displaystyle L_2=2\int\limits^{\pi /2}_0 {\sqrt{sin^2\phi +(1-cos\phi )^2} } \, dx =2\int\limits^{\pi /2}_0 {\sqrt{(2-2cos\phi)}} \, d\phi =$

1-cosФ = 2sin²(Ф/2)

$\displaystyle =4\int\limits^{\pi /2}_0 {\bigg|sin(\frac{\phi}{2})\bigg | } \, d\phi =\left[\begin{array}{ccc}u=\phi/2\quad du=dx/2\hfill\\u_1=0 \quad u_2 = \pi /4\hfill\\|sin\phi |=sin\phi \quad 0$

$\displaystyle =8\int\limits^{\pi /4}_0{sinu} \, du =-8cosu \bigg |_0^{\pi /4}=8-4\sqrt{2}$

и теперь L = L₁ +L₂ = π +8 -4√2