Question

Докажите, что медиана и высота, проведён- ные к гипотенузе прямоугольного треугольника,
образуют равные углы с его катетами (рис. 16.26).

Answer 1

Добрый день, ученик! Давайте рассмотрим, как доказать, что медиана и высота, проведенные к гипотенузе прямоугольного треугольника, образуют равные углы с его катетами.

Для начала, давайте обозначим некоторые величины на рисунке. Пусть треугольник ABC - прямоугольный треугольник, где AB - гипотенуза, BC и AC - катеты. Пусть AM - медиана, и AN - высота, проведенные к гипотенузе.

Теперь, чтобы доказать, что углы, образованные медианой и высотой с катетами, равны, нам понадобится использовать свойства прямоугольного треугольника и свойства перпендикулярных прямых. Давайте приступим к доказательству.

1. Докажем, что угол BMA равен углу BCA.
- По свойству медианы, точка M делит гипотенузу на две равные части, поэтому AM = MC.
- Также, угол BAC является прямым углом, так как треугольник ABC - прямоугольный.
- Из этих двух фактов следует, что треугольники AMB и CMB являются равнобедренными, так как у них равны основания AM и MC, и равны углы MAB и MCB, соответственно.
- Так как у треугольников AMB и CMB пары углов MAB и MCB равны, то углы BMA и BCA тоже равны.
- Таким образом, угол BMA равен углу BCA.

2. Докажем, что угол BAN равен углу BAC.
- По определению высоты, AN перпендикулярна к гипотенузе AB, поэтому угол BAN является прямым углом.
- Также, у углов BAN и BAC общая вершина B.
- Из этих двух фактов следует, что углы BAN и BAC равны.
- Таким образом, угол BAN равен углу BAC.

Итак, мы доказали, что углы BMA и BAN равны углам BCA и BAC соответственно. Следовательно, медиана AM и высота AN, проведенные к гипотенузе, образуют равные углы с катетами BC и AC.

Я надеюсь, что это доказательство было понятным для вас. Если у вас возникли еще вопросы или что-то не ясно, пожалуйста, сообщите мне.