Question

За темою Диференціальні рівняння. ​

Answer 1

1.

Это ДУ с разделяющимися переменными

$(1 + y^{2} )xdx + (1 + {x}^{2}) dy = 0 \\ (1 + {x}^{2} )dy = - x(1 + {y}^{2} )dx \\ \int\limits \frac{dy}{1 + {y}^{2} } = - \int\limits \frac{xdx}{1 + {x}^{2} } \\ arctg(y) = - \frac{1}{2} \int\limits \frac{2xdx}{1 + {x}^{2} } \\ arctg(y) = - \frac{1}{2} \int\limits \frac{d(1 + {x}^{2}) }{1 + {x}^{2} } \\ arctg(y) = - \frac{1}{2}ln |1 + {x}^{2} | + C$

общее решение

$y(0) = 0$

$arctg(0) = - \frac{1}{2} ln(1) + C\\ C= 0$

$arctg(y) = - \frac{1}{2} ln(1 + {x}^{2} ) \\$

частное решение

2. Это линейное однородное ДУ

$y'' - 3y' + \frac{9y}{4} = 0 \\ \\ y = {e}^{kx} \\ {e}^{kx} ( {k}^{2} - 3 k + \frac{9}{4} ) = 0 \\ D = 9 - 4 \times \frac{9}{4} = 0 \\ k_{1,2} = \frac{3}{2} \\ y = C_1 {e}^{ \frac{3}{2}x } + C_2 {e}^{ \frac{3}{2}x } x$

общее решение