Лемма: существует такое y-значное число вида XX...X (т.е. состоит из целиком из цифр X) такое, что оно делится на число 1987
Доказательство: число указанного вида можно представить в виде
; Сперва очевидно, что 
делится на 9. Согласно малой теореме Ферма 
, так как 1987 - число простое. Так как 9 и 1987 взаимно просты, то число XX...X делится на 1987 для n+1=1986, т.е. для n=1985.
Итак, взяв например n=1985 получим число 1...19...98...86...6, которое раскладывается как 
, где каждое из чисел вида X...X делится на 1987
Пусть 1-е число 2n+1, второе : 2k+1, тогда сумма их квадратов равна: (2n+1)^2 + (2k+1)^2=4n^2 +4n +1 + 4k^2+ 4k+1=4(n^2+K^2+n+k) +2 корень извлечь невозможно, следовательно сумма квадратов 2х нечетных чиел не является квадратом целого числа.