Question

1. Решить дифференциальное уравнение с разделённой переменной cos(6x+1) dx-y^2 dy=0
2. Решить дифференциальное уравнение с разделяющейся переменной.
(x^2 + x)dy= dx/y
3. Найти частное решение дифференциального уравнения
(задача Коши)
y'tgx= 1+y , если y= - 1/2 при x= П/6

Answer 1

1.

$\cos(6x + 1) dx - {y}^{2} dy = 0\\ {y}^{2} dy = \cos(6x + 1) dx \\ \int\limits {y}^{2} dy = \frac{1}{6}\int\limits \cos(6x + 1) d(6x + 1) \\ \frac{ {y}^{3} }{3} = \frac{1}{6} \sin(6x + 1 ) + C\\ {y}^{3} = \frac{1}{2} \sin(6x + 1) + C$

общее решение

2.

$( {x}^{2} + x)dy = \frac{dx}{y} \\ \int\limits \: ydy = \int\limits \frac{dx}{x(x + 1)} \\ \\ \int\limits \: ydy = \frac{ {y}^{2} }{2} + C \\ \\ \int\limits \frac{dx}{x(x + 1)} \\ \\ \text{Разделим на простейшие дроби:} \\ \frac{1}{x(x + 1)} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x + 1} \\ 1 = A(x + 1) + Bx \\ 1 = Ax + A+ Bx \\ \\ 0 = A + B \\1 = A\\ \\ A = 1 \\ B= - 1 \\ \\ \int\limits \frac{dx}{x} - \int\limits \frac{dx}{x + 1} = \\ = ln |x| - ln |x + 1 | + C = ln | \frac{x}{x + 1 } | + C\\ \\ \text{Получаем;} \\ \frac{ {y}^{2} }{2} = ln | \frac{x}{x + 1} | + C$

общее решение

3.

$y'tgx = 1 + y \\ \frac{dy}{dx} tgx = 1 + y \\ \int\limits \frac{dy}{y + 1} = \int\limits \frac{dx}{tgx} \\ \int\limits \frac{d(y + 1)}{y + 1} =\int\limits \frac{ \cos(x) }{ \sin(x) } dx \\ ln |1 + y| = \int\limits \frac{d (\sin(x)) }{ \sin(x) } \\ ln |1 + y| = ln | \sin(x) | + ln |c| \\ y + 1 = C \sin(x)$

общее решение

$y( \frac{\pi}{6} ) = - \frac{1}{2} \\$

$1 - \frac{1}{2} = C \sin( \frac{\pi}{6} ) \\ \frac{1}{2} = C \times \frac{1}{2} \\ C = 1$

$y + 1 = \sin(x) \\ y = \sin(x) - 1$

частное решение