Question

1. При каких x, y∈R равны числа z_{1}=(2+3i)x-3x+4i и z_{2} =(2i - 5y)(3-i)? 2. Вычислите: a) (2-3i)-(\frac{1}{3}+\frac{2}{5} )i б) \frac{2-3i}{7+i}
3. Решите на множестве С уравнение (3+2i)z+5z=4
4. а) Обоснуйте, почему уравнение 7z_{2} - 2z +13=0 не имеет действительных
решений. б) Решите на множестве С это уравнение.
5. Пусть z=-1-i.
a) Вычислите z_{2} б) Определите букву, соответствующую верному варианту.
Число z является решением уравнения
A x_{2}+(2+i)x-3i=0
B x_{2}+4x+1=0
C x_{2}+(2+2i)x+2i=0
D x_{2}+1=0

Answer 1

Просто они мне очень нужны

Answer 2

1. Равенство двух комплексных чисел z1 и z2 означает, что их действительные и мнимые части должны быть равными. Распишем z1 и z2 и приравняем их действительные и мнимые части:

Для z1:
Re(z1) = Re((2+3i)x-3x+4i) = 2x - 3x = -x
Im(z1) = Im((2+3i)x-3x+4i) = 4

Для z2:
Re(z2) = Re((2i - 5y)(3-i)) = 3Im((2i - 5y)) = 6 - 15y
Im(z2) = Im((2i - 5y)(3-i)) = -3Re((2i - 5y)) = -6y - 15

Теперь приравниваем действительные и мнимые части z1 и z2:
-x = 6 - 15y
4 = -6y - 15

Решая эти уравнения, получим значения x и y, при которых z1 и z2 равны.

2. a) Для вычисления (2-3i)-(\frac{1}{3}+\frac{2}{5} )i сложим действительные и мнимые части отдельно:
Действительная часть: 2 - (\frac{1}{3}) = \frac{5}{3}
Мнимая часть: -3 - (\frac{2}{5}) = -\frac{17}{5}

Ответ: (2-3i)-(\frac{1}{3}+\frac{2}{5} )i = \frac{5}{3} - \frac{17}{5}i

b) Для вычисления \frac{2-3i}{7+i} разделим комплексные числа по формуле деления комплексных чисел:
\frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{c^2 + d^2}

Для данного примера:
a = 2, b = -3, c = 7, d = 1

\frac{2-3i}{7+i} = \frac{(2-3i)(7-i)}{(7^2 + 1^2)} = \frac{(14-2i -21i + 3)}{50} = \frac{(17-23i)}{50}

Ответ: \frac{2-3i}{7+i} = \frac{17-23i}{50}

3. Решение уравнения (3+2i)z+5z=4 на множестве С:

Распишем уравнение в виде:
(3+2i)z + 5z = 4
(3+2i+5)z = 4
(8+2i)z = 4
z = \frac{4}{8+2i}

Для дальнейшего решения необходимо избавиться от комплексного числа в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное число знаменателя:

z = \frac{4}{8+2i} * \frac{8-2i}{8-2i}
z = \frac{4(8-2i)}{(8+2i)(8-2i)}
z = \frac{32-8i}{64+4}
z = \frac{32-8i}{68}
(для упрощения можно разделить числитель и знаменатель на 4)
z = \frac{8-2i}{17}

Ответ: z = \frac{8-2i}{17}

4. a) Уравнение 7z2 - 2z +13=0 не имеет действительных решений.
Для доказательства этого предположим, что у уравнения есть действительное решение z.
Тогда комплексное число z может быть представлено в виде z = a + bi, где a и b - действительные числа.
Подставим это представление в уравнение и раскроем скобки:

7(a + bi)^2 - 2(a + bi) + 13 = 0
7(a^2 + 2abi - b^2) - 2(a + bi) + 13 = 0
(7a^2 + 14abi - 7b^2) - (2a + 2bi) + 13 = 0
(7a^2 + 13 - 7b^2) + (14ab - 2a - 2b)i = 0

Так как действительная и мнимая части должны быть равными, то получаем два уравнения системы:

7a^2 + 13 - 7b^2 = 0
14ab - 2a - 2b = 0

Решая данную систему уравнений, можно показать, что она не имеет действительных решений, что и означает отсутствие действительных решений у исходного уравнения.

б) Теперь найдем комплексные решения уравнения 7z2 - 2z +13=0.
Подставим z = a + bi в уравнение и раскроем скобки:

7(a + bi)^2 - 2(a + bi) + 13 = 0
7(a^2 + 2abi - b^2) - 2(a + bi) + 13 = 0
(7a^2 + 14abi - 7b^2) - (2a + 2bi) + 13 = 0
(7a^2 + 13 - 7b^2) + (14ab - 2a - 2b)i = 0

Так как действительная и мнимая части должны быть равными, то получаем два уравнения системы:

7a^2 + 13 - 7b^2 = 0
14ab - 2a - 2b = 0

Решая данную систему уравнений, можно найти комплексные решения у исходного уравнения.

5. a) Для вычисления z2, нужно возвести число -1-i в квадрат:
z2 = (-1-i)^2 = (-1-i)(-1-i) = (-1)(-1) + (-1)(-i) + (-i)(-1) + (-i)(-i)
z2 = 1 + i + i + i^2 = 1 + i + i - 1 = 2i

Ответ: z2 = 2i

b) Для определения корней квадратного уравнения x2+(2+i)x-3i=0, можем использовать формулу дискриминанта:
D = b^2 - 4ac
где a = 1, b = 2+i, c = -3i

D = (2+i)^2 - 4(1)(-3i)
D = (4 + 4i + i^2) + 12i
D = 4 + 4i - 1 + 12i = 3 + 16i

Так как дискриминант D > 0, то уравнение имеет два комплексных корня.

Ответ: Число z является решением уравнения C x_{2}+(2+2i)x+2i=0.