Давайте рассмотрим общий случай, когда на окружности отмечено n серых, (n+1) бурая и (n+2) малиновых точек. Нам нужно доказать, что найдется такая бурая точка, у которой оба соседа - малиновые.
Предположим, что такой точки не существует. Это означает, что для каждой бурой точки ее оба соседа не могут быть малиновыми. Значит, между бурыми точками должна быть хотя бы одна серая точка.
Рассмотрим ситуацию, когда все бурые точки размещены по кругу, а серые точки находятся между ними. Представим себе, что бурые точки - это сиденья вокруг стола, а серые точки - это люди, сидящие на этих сиденьях. Таким образом, каждое сиденье между бурыми точками должно быть занято одним человеком.
У нас есть n серых точек и n бурых точек. Значит, у нас есть столько же людей, сколько сидений. Теперь предположим, что все эти люди разноцветные - у каждого человека свой цвет (серый или бурая точка).
Поскольку каждый человек должен сидеть между двумя бурыми точками, причем соседи должны иметь разные цвета, у нас будет следующая раскраска: серый, бурая, серый, бурая, серый, и так далее. Но у нас всего n серых точек и n бурых точек, так что мы не можем получить такую раскраску, в которой каждый человек сидит между двумя бурыми точками.
Это противоречие показывает, что наше предположение было неверным, и такой бурая точки с малиновыми соседями обязательно существует.
Таким образом, мы доказали, что на окружности с данными условиями найдется бурая точка, у которой оба соседа - малиновые.
Предположим, что такой точки не существует. Это означает, что для каждой бурой точки ее оба соседа не могут быть малиновыми. Значит, между бурыми точками должна быть хотя бы одна серая точка.
Рассмотрим ситуацию, когда все бурые точки размещены по кругу, а серые точки находятся между ними. Представим себе, что бурые точки - это сиденья вокруг стола, а серые точки - это люди, сидящие на этих сиденьях. Таким образом, каждое сиденье между бурыми точками должно быть занято одним человеком.
У нас есть n серых точек и n бурых точек. Значит, у нас есть столько же людей, сколько сидений. Теперь предположим, что все эти люди разноцветные - у каждого человека свой цвет (серый или бурая точка).
Поскольку каждый человек должен сидеть между двумя бурыми точками, причем соседи должны иметь разные цвета, у нас будет следующая раскраска: серый, бурая, серый, бурая, серый, и так далее. Но у нас всего n серых точек и n бурых точек, так что мы не можем получить такую раскраску, в которой каждый человек сидит между двумя бурыми точками.
Это противоречие показывает, что наше предположение было неверным, и такой бурая точки с малиновыми соседями обязательно существует.
Таким образом, мы доказали, что на окружности с данными условиями найдется бурая точка, у которой оба соседа - малиновые.