Question

Найдите общий вид первообразных функции f
Решите от буквы (д) до буквы (м) ​

Answer 1

д

$F(x) = \int\limits(1 - 2 \cos {}^{2} ( \frac{x}{2} ) )dx \\ \\ 2 \cos {}^{2} ( \frac{x}{2} ) = 1 + \cos(x) \\ \\ F(x) = \int\limits(1 - (1 + \cos(x)) dx = \int\limits(1 - 1 - \cos( x ) ) dx = \\ = - \int\limits \cos(x) dx = - \sin(x) + C$

е

$F(x) = \int\limits( {tg}^{2} x + 1)dx \\ \\ {tg}^{2} x + 1 = \frac{1}{ \cos {}^{2} (x) } \\ \\ F(x) = \int\limits \frac{dx}{ \cos {}^{2} (x) } = tg(x )+ C$

ж

$F(x) = \int\limits(4 \sqrt{x} + \frac{1}{ \sqrt{x} } )dx = \int\limits(4 {x}^{ \frac{1}{2} } + {x}^{ - \frac{1}{2} } )dx = \\ = 4 \times \frac{ {x}^{ \frac{3}{2} } }{ \frac{3}{2} } + \frac{ {x}^{ \frac{1}{2} } }{ \frac{1}{2} } + C= \frac{8}{3} x \sqrt{x} + 2 \sqrt{x} + C$

з

$F(x) = \int\limits( \frac{4}{ \sin {}^{2} ( x ) } - \frac{2}{ \cos {}^{2} (x) } )dx = - 4ctg(x) + 2tg(x) + C \\$

и

$F(x) = \int\limits( {x}^{2} - 7) {}^{2} dx = \int\limits( {x}^{4} - 14 {x}^{2} + 49)dx = \\ = \frac{ {x}^{5} }{5} - \frac{14 {x}^{3} }{3} + 49x + C$

к

$F(x) = \int\limits(1 + {ctg}^{2} x)dx \\ \\ 1 + {ctg}^{2} x = \frac{1}{ \sin { }^{2} (x) } \\ \\ F(x) = \int\limits \frac{1}{ \sin {}^{2} (x) } dx = - ctg(x) + C$

л

$F(x) = \int\limits \sin(x) \cos(x)dx = \int\limits\frac{1}{2} \times 2 \sin(x) \cos(x)dx = \\ = \frac{1}{2} \int\limits \sin(2x) dx = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \int\limits \sin(2x) d(2x) = - \frac{1}{4} \cos(2x) + C$

м

$F(x) = \int\limits \frac{ \sin { }^{2} (x) + \cos {}^{2} (x) }{ \cos {}^{2} (x) } dx = \\ = \int\limits \frac{1}{ \cos {}^{2} (x) } dx = tg(x) + C$