Question

Произвести интегрирование по частям

Answer 1

1.

$\int\limits(4x - 2) \cos(2x) dx \\ \\ u = 4x - 2 \: \: \: \: \: \: \: \: du = 4dx \\ dv = \cos(2x) dx \: \: \: \: \: \: \: \: v = \frac{1}{2} \int\limits \cos(2x) d(2x) = \\ = \frac{1}{2} \sin(2x) \\ \\ uv - \int\limits \: vdu = \\ = \frac{4x - 2}{2} \sin(2x) - \frac{4}{2} \int\limits \sin(2x) dx = \\ = (2x - 1) \sin(2x) - 1 \times \int\limits \sin(2x) d(2x) = \\ = (2x - 1) \sin(2x) + \cos(2x) + C$

2.

$\int\limits \: arcsin(2x)dx \\ \\ u = arcsin(2x) \: \: \: du = \frac{2dx}{ \sqrt{1 - 4 {x}^{2} } } \\ dv = dx \: \: \: \: v = x \\ \\ xarcsin(2x) - \int\limits \frac{2xdx}{ \sqrt{1 - 4 {x}^{2} } } = \\ = xarcsin(2x) + \frac{1}{4} \int\limits \frac{( - 8x)dx}{ \sqrt{1 - 4{x}^{2} } } = \\ = xarcsin(2x) + \int\limits \frac{d(1 - 4{x}^{2}) }{ {(1 - 4 {x}^{2}) }^{ \frac{1}{2} } } = \\ = xarcsin(2x) + \frac{ {(1 - 4 {x}^{2}) }^{ \frac{1}{2} } }{ \frac{1}{2} } + C= \\ = xarcsin(2x) + 2 \sqrt{1 - 4 {x}^{2} } + C$

3.

$\int\limits {e}^{5x} \sin( \frac{x}{2} ) dx \\ \\ u = \sin( \frac{x}{2} ) \: \: \: \: \: \: du = \frac{1}{2} \cos( \frac{x}{2} ) dx \\ dv = e {}^{5x} dx \: \: \: \: v = \frac{1}{5} \int\limits {e}^{5x} d(5x) = \frac{ {e}^{5x} }{5} \\ \\ \frac{ {e}^{5x} }{5} \sin( \frac{x}{2} ) - \frac{1}{10} \int\limits {e}^{5x} \cos( \frac{x}{2} ) dx \\ \\ u = \cos( \frac{x}{2} ) \: \: \: du = - \frac{1}{2} \sin( \frac{x}{2} ) dx \\ dv = {e}^{5x} \: \: \: v = \frac{ {e}^{5x} }{5} \\ \\ \frac{ {e}^{5x} }{5} \sin( \frac{x}{2} ) - \frac{1}{10} ( \frac{ {e}^{5x} }{5} \cos( \frac{x}{2} ) + \frac{1}{10} \int\limits {e}^{5x} \sin( \frac{x}{2} ) dx) = \\ = \frac{ {e}^{5x} }{5} \sin( \frac{x}{2} ) - \frac{ {e}^{5x} }{50} \cos( \frac{x}{2} ) - \frac{1}{100} \int\limits {e}^{5x} \sin( \frac{x}{2} ) dx$

Снова получили исходный интеграл

Пусть

$\int\limits {e}^{5x} \sin( \frac{x}{2} ) dx = I\\$

тогда

$I= \frac{ {e}^{5x} }{5} \sin( \frac{x}{2} ) - \frac{ {e}^{5x} }{5} \cos( \frac{x}{2} ) - \frac{1}{100} I \\ \frac{101}{100} I= \frac{ {e}^{5x} }{5} ( \sin( \frac{x}{2} ) - \cos( \frac{x}{2} ) ) \\ I = \frac{20 {e}^{5x} }{101} ( \sin( \frac{x}{2} ) - \cos( \frac{x}{2} ) )$

$\int\limits {e}^{5x} \sin( \frac{x}{2} ) dx = \frac{20 {e}^{5x} }{101} ( \sin( \frac{x}{2} ) - \cos( \frac{x}{2} ) ) +C\\$