Докажем сначала вторую часть теоремы. Не ограничивая общности будем считать, что функция монотонно неубывает (для невозрастающей доказательство аналогичное). Возьмем точку . Так как функция монотонна на R, то для . Пусть y - точная верхняя грань . Для не является верхней гранью данного множества. Поэтому . Если ввести , то получится как раз определение предела слева по Коши. Аналогично доказывается существование правого предела. Из существования левого и правого предела следует, что могут существовать лишь точки разрыва 1-го рода. Если в точке x функция терпит разрыв, то f(x+0)>f(x-0). Так как f(x+0) и f(x-0) имеют вещественные значения, то существует некоторое рациональное число, лежащее между двумя данными. Назовем его h(x). Сопоставим каждой точке разрыва функции f некоторое рациональное число h(x) по правилу, описанному выше. Если - две точки разрыва, то . Отсюда разным точкам разрыва соответствуют различные h(x). Рациональных чисел счетное число, поэтому h(x) - не более чем счетно.
Если ввести
Аналогично доказывается существование правого предела.
Из существования левого и правого предела следует, что могут существовать лишь точки разрыва 1-го рода.
Если в точке x функция терпит разрыв, то f(x+0)>f(x-0). Так как f(x+0) и f(x-0) имеют вещественные значения, то существует некоторое рациональное число, лежащее между двумя данными. Назовем его h(x). Сопоставим каждой точке разрыва функции f некоторое рациональное число h(x) по правилу, описанному выше. Если